Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
а это в точности совпадает со значением коэффициента при f(x
i
) в сумме (2.7).
Теорема доказана.
Из формулы (2.1) ( или, при других обозначениях, из формулы (2.6) )
вытекает очевидное
Следствие 2.3. Для любых функций f , g и любой константы λ
справедливы равенства
( f+g )( x
k
,x
k+1
, ... ,x
k+m
) = f( x
k
,x
k+1
, ... ,x
k+m
) + g( x
k
,x
k+1
, ... ,x
k+m
) ,
(λf)( x
k
,x
k+1
, ... ,x
k+m
) = λf( x
k
,x
k+1
, ... ,x
k+m
) .
Другими словами, разделённая разность суммы двух функций равна сумме
разделённых разностей слагаемых, а постоянный множитель можно выносить за
знак разделённой разности; в этом отношении разделённые разности аналогичны
производным.
Далее, взгляд на формулы (2.1), (2.6) приводит к выводу, что узлы
x
k
,x
k+1
, ... ,x
k+m
, (2.9)
фигурирующие в качестве аргументов разделённой разности
f( x
k
,x
k+1
, ... ,x
k+m
) ,
абсолютно равноправны , поскольку слагаемые сумм (2.1), (2.6), отвечающие
узлу x
i
, образуются для всех i одинаковым образом: значение f(x
i
) делится на
произведение, сомножители которого получаются вычитанием из узла x
i
всех остальных узлов совокупности (2.9). Поэтому, если узлы (2.9)
расположить в другом порядке ( т.е. занумеровать их целыми числами от k до
k+m по другому ):
y
k
,y
k+1
, ... ,y
k+m
, (2.10)
;
)xx(
1
)xx)()xx()(xx(
1
)xx)(xx(
xxxx
)xx(
1
xx
1
1m
ij
0j
ji
m
ij
1j
1miji0i
1mi0i
0i1mi
m
ij
1j
ji
1m0
∏∏
∏
+
≠
=
≠
=
+
+
+
≠
=
+
−
=
−−−
=
=
−−
+−−
−
−
=
                                                 9



             1                  1             xi −xm +1 −xi +x0
     =                                                              =
         x0 −xm +1       m                  ( xi −x0 )( xi −xm +1 )
                        ∏ ( xi −x j )
                         j =1
                         j ≠i
                                1                        1
     =               m
                                                  = m +1
                                                                  ;
         ( xi −x0 )( ∏ ( xi −x j ) )( xi −xm +1 )   ∏ ( xi −x j )
                        j =1                                       j =0
                        j ≠i                                       j ≠i


а это в точности совпадает со значением коэффициента при f(xi) в сумме (2.7).
       Теорема доказана.
       Из формулы (2.1) ( или, при других обозначениях, из формулы (2.6) )
вытекает очевидное
       Следствие 2.3. Для любых функций f , g и любой константы λ
справедливы равенства

     ( f+g )( xk ,xk+1 , ... ,xk+m ) = f( xk ,xk+1 , ... ,xk+m ) + g( xk ,xk+1 , ... ,xk+m ) ,

     (λf)( xk ,xk+1 , ... ,xk+m ) = λf( xk ,xk+1 , ... ,xk+m ) .

      Другими словами, разделённая разность суммы двух функций равна сумме
разделённых разностей слагаемых, а постоянный множитель можно выносить за
знак разделённой разности; в этом отношении разделённые разности аналогичны
производным.
      Далее, взгляд на формулы (2.1), (2.6) приводит к выводу, что узлы

                                            xk ,xk+1 , ... ,xk+m ,                                (2.9)

фигурирующие в качестве аргументов разделённой разности

                                     f( xk ,xk+1 , ... ,xk+m ) ,

абсолютно равноправны, поскольку слагаемые сумм (2.1), (2.6), отвечающие
узлу xi , образуются для всех i одинаковым образом: значение f(xi) делится на
произведение, сомножители которого получаются вычитанием из узла xi
всех остальных узлов совокупности (2.9). Поэтому, если узлы (2.9)
расположить в другом порядке ( т.е. занумеровать их целыми числами от k до
k+m по другому ):

                                    yk ,yk+1 , ... ,yk+m ,                                       (2.10)

Страницы