Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 8 стр.

                                                            8


                              1                                 1
f ( x0 ,x1, ...,xm+1 ) =             ( f ( x0 )                                  +
                        ( x0 −xm+1 )            ( x0 −x1 )( x0 −x2 )...(x0 −xm )
  m
                       1                        1                                       1
+∑ f ( xi ) [ m                    − m+1                  ] −f ( xm+1 )                               )=
 i=1                                                                       ( xm+1 −x1 )...(xm+1 −xm )
                ∏ ( xi −xj )              ∏ ( xi −xj )
                j=0                       j=1
                j≠i                       j≠i
                                                        m
                                1                                        1            1
=f ( x0 )                                             + ∑ f ( xi )              [ m           −
          ( x0 −x1 )( x0 −x2 )...(x0 −xm )( x0 −xm+1 ) i=1         ( x0 −xm+1 )
                                                                                 ∏ ( xi −xj )
                                                                                               j=0
                                                                                               j≠i
           1                                             1
−m+1             ] +f ( xm+1 )                                               .                             ( 2.8 )
                                      ( xm+1 −x0 )( xm+1 −x1 )...(xm+1 −xm )
  ∏ ( xi −xj )
     j=1
     j≠i
     Крайние слагаемые суммы (2.8) есть в точности слагаемые суммы (2.7),
отвечающие соответственно значениям индекса суммирования i=0 и i=m+1.
Покажем, что и при 0 < i < m+1 слагаемые сумм (2.7),(2.8) совпадают.
     Поскольку при 0 < i < m+1 знаменатель первой дроби в квадратных
скобках заведомо содержит множитель xi – x0 , а знаменатель второй –
множитель xi – xm+1 :

 m                                m                        m+1                     m
∏ ( xi −x j ) =( xi −x0 ) ∏ ( xi −x j ) ,                   ∏ ( xi −x j ) =(      ∏ ( xi −x j ) )( xi −xm+1 )        ,
j =0                              j =1                      j =1                   j =1
j ≠i                              j ≠i                      j ≠i                   j ≠i


для коэффициента при f(xi) в (2.8) имеем значение

         1                            1                                             1
               [                                            −                                         ] =
     x0 −xm +1                        m                                m
                   ( xi −x0 ) ∏ ( xi −x j )                        (   ∏ ( xi −x j ) )( xi −xm +1 )
                                    j =1                               j =1
                                    j ≠i                               j ≠i


               1                   1                       1         1
       =                                            [          −           ] =
           x0 −xm +1       m                            xi −x0   xi −xm +1
                           ∏ ( xi −x j )
                           j =1
                           j ≠i