Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
Первые две левые колонки этой таблицы составлены из заданных
величин x
k
, f(x
k
), а элементы последующих колонок вычисляются по элементам
предыдущей колонки согласно формулам (1.12).
Строка Таблицы 2, отвечающая узлу x
0
, содержит коэффициенты (1.6)
разложения (1.5); чтобы показать , что при подстановке этих коэффициентов в
разложение (1.5) действительно получается интерполяционный многочлен, нам
придётся установить некоторые свойства разделённых разностей .
2
0
. Свойства разделённых разностей .
Теорема 2.1. Разделённая разность (1.12) m-того ( m=1,2, ... ,n ) порядка в
узле x
k
( k=0,1, ... ,n – m ) есть линейная комбинация
значений
f(x
k
) , f(x
k+1
) , ... , f(x
k+m
)
функции f в узлах
x
k
, x
k+1
, ... , x
k+m
, (2.2)
причём коэффициент этой линейной комбинации при f(x
i
) есть дробь, числитель
которой равен 1, а знаменатель получен вычитанием из узла x
i
остальных узлов
(2.2) и перемножением этих разностей .
Замечание 2.2. Для указанных знаменателей используются и более
наглядные обозначения :
которые при k < i < k+m следует понимать буквально , а при i=k и i=k+m –
считать символическим обозначением произведений :
(x
k
– x
k+1
)(x
k
– x
k+2
) ... (x
k
– x
k+m
) , (2.4)
∑
∏
+
=
+
≠
=
++
−
=
mk
ki
mk
ij
kj
ji
imk1kk
)1.2(
)xx(
1
)x(f)x,...,x,x(f
)3.2(,)xx(...)xx)(xx(...)xx)(xx()xx(
mki1ii1ii1kiki
mk
ij
kj
ji ++−+
+
≠
=
−−−−−=−
∏
                                                6
     Первые две левые колонки этой таблицы составлены из заданных
величин xk , f(xk ), а элементы последующих колонок вычисляются по элементам
предыдущей колонки согласно формулам (1.12).
      Строка Таблицы 2, отвечающая узлу x0 , содержит коэффициенты (1.6)
разложения (1.5); чтобы показать, что при подстановке этих коэффициентов в
разложение (1.5) действительно получается интерполяционный многочлен, нам
придётся установить некоторые свойства разделённых разностей.


       20. Свойства разделённых разностей.


     Теорема 2.1. Разделённая разность (1.12) m-того ( m=1,2, ... ,n ) порядка в
узле xk ( k=0,1, ... ,n – m ) есть линейная комбинация

                                      k +m
                                                           1
         f ( x k , xk +1 , ... , xk +m ) = ∑ f ( xi ) k +m                                ( 2.1 )
                                           i =k
                                                      ∏ ( xi −x j )
                                                     j =k
                                                     j ≠i
значений

                                f(xk ) , f(xk+1 ) , ... , f(xk+m )

функции f в узлах

                                      xk , xk+1 , ... , xk+m ,                             (2.2)

причём коэффициент этой линейной комбинации при f(xi ) есть дробь, числитель
которой равен 1, а знаменатель получен вычитанием из узла xi остальных узлов
(2.2) и перемножением этих разностей.
      Замечание 2.2. Для указанных знаменателей используются и более
наглядные обозначения:

k +m
∏ ( xi −x j   ) =( xi −xk )( xi −xk +1 ) ...( xi −xi −1 )( xi −xi +1 ) ...( xi −xk +m ) , ( 2.3 )
j =k
j ≠i
которые при k < i < k+m следует понимать буквально, а при i=k и i=k+m –
считать символическим обозначением произведений:

                            (xk – xk+1 )(xk – xk+2 ) ... (xk – xk+m ) ,                    (2.4)

Страницы