Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
следующим образом выражается через разделённые разности (m–1)-вого порядка
в узлах x
k
, x
k+1
:
f(x
k
, x
k+1
, ... , x
k+m
)=( f( x
k
, x
k+1
, ... , x
k+m – 1
)-
- f( x
k+1
, x
k+2
, ... , x
k+m
) ) / (x
k
– x
k+m
) . (1.12)
Следует отметить , что в знаменателе дроби (1.12) фигурирует разность
крайних аргументов разделённой разности (1.11), а в числителе – разность
разделённых разностей (m-1)-го порядка в соседних узлах x
k
, x
k+1
.
Всего имеем n-m+1 разделённых разностей m – того порядка:
f(x
0
, x
1
, ... , x
m
) = ( f(x
0
, x
1
, ... , x
m – 1
) – f(x
1
, x
2
, ... , x
m
)) / (x
0
– x
m
) ,
f(x
1
, x
2
, ... , x
m+1
) = ( f(x
1
, x
2
, ... , x
m
) – f(x
2
, x
3
, ... , x
m+1
)) / (x
1
– x
m+1
) , ... ,
f(x
n – m
, x
n – m+1
, ... , x
n
) = ( f(x
n – m
, ... , x
n – 1
) – f(x
n – m+1
, ... , x
n
)) / (x
n – m
– x
n
).
Количество n-m+1 разделённых разностей m-того порядка для функции f,
заданной Таблицей 1, при увеличении порядка разделённой разности m убывает
от n+1 при m=0 до 1 при m = n; таким образом, имеем лишь одну
разделённую разность n-го порядка:
f(x
0
, x
1
, ... , x
n
) = ( f(x
0
, x
1
, ... , x
n –1
) – f(x
1
, x
2
, ... , x
n
)) / (x
0
– x
n
) .
Чтобы получить разделённые разности более высокого порядка, в Таблицу 1
следует добавить дополнительные узлы .
Разделённые разности для функции f, заданной Таблицей 1, удобно
записывать в виде таблицы :
Таблица 2.
x
0
f(x
0
) f(x
0
,x
1
) f(x
0
,x
1
,x
2
) ...
f(x
0
, ... ,x
n-1
) f(x
0
, ... ,x
n
)
x
1
f(x
1
) f(x
1
,x
2
) f(x
1
,x
2
,x
3
) ...
f(x
1
, ... ,x
n
)
-
x
2
f(x
2
) f(x
2
,x
3
) f(x
2
,x
3
,x
4
) ...
- -
x
3
f(x
3
) f(x
3
,x
4
) f(x
3
,x
4
,x
5
) ...
- -
...
...
... ... ...
...
...
x
n-2
f(x
n-2
) f(x
n-2
,x
n-1
) f(x
n-2
,x
n-1
,x
n
)
...
- -
x
n-1
f(x
n-1
)
f(x
n-1
,x
n
)
-
...
- -
x
n
f(x
n
)
- -
...
- - 
                                                      5


следующим образом выражается через разделённые разности (m–1)-вого порядка
в узлах xk , xk+1 :

f(xk , xk+1 , ... , xk+m)=( f( xk , xk+1 , ... , xk+m – 1 )-

                     - f( xk+1 , xk+2, ... , xk+m ) ) / (xk – xk+m ) .                                (1.12)

      Следует отметить, что в знаменателе дроби (1.12) фигурирует разность
крайних аргументов разделённой разности (1.11), а в числителе – разность
разделённых разностей (m-1)-го порядка в соседних узлах xk , xk+1 .
      Всего имеем n-m+1 разделённых разностей m – того порядка:

f(x0 , x1 , ... , xm ) = ( f(x0 , x1 , ... , xm – 1 ) – f(x1 , x2 , ... , xm )) / (x0 – xm ) ,

f(x1 , x2 , ... , xm+1 ) = ( f(x1 , x2 , ... , xm ) – f(x2 , x3 , ... , xm+1 )) / (x1 – xm+1 ) , ... ,

f(xn – m , xn – m+1 , ... , xn ) = ( f(xn – m , ... , xn – 1 ) – f(xn – m+1 , ... , xn )) / (xn – m – xn ).

      Количество n-m+1 разделённых разностей m-того порядка для функции f,
заданной Таблицей 1, при увеличении порядка разделённой разности m убывает
от n+1 при m=0 до 1 при m = n; таким образом, имеем лишь одну
разделённую разность n-го порядка:

f(x0 , x1 , ... , xn ) = ( f(x0 , x1 , ... , xn –1) – f(x1 , x2 , ... , xn )) / (x0 – xn ) .

Чтобы получить разделённые разности более высокого порядка, в Таблицу 1
следует добавить дополнительные узлы.
     Разделённые разности для функции f, заданной Таблицей 1, удобно
записывать в виде таблицы:

                                                 Таблица 2.

x0        f(x0 )        f(x0 ,x1 )      f(x0 ,x1 ,x2 )         ...   f(x0 , ... ,xn-1 )   f(x0 , ... ,xn )
x1        f(x1 )        f(x1 ,x2 )      f(x1 ,x2 ,x3 )         ...   f(x1 , ... ,xn )            -
x2        f(x2 )        f(x2 ,x3 )      f(x2 ,x3 ,x4 )         ...           -                   -
x3        f(x3 )        f(x3 ,x4 )      f(x3 ,x4 ,x5 )         ...           -                   -
...       ...           ...             ...                    ...   ...                  ...
xn-2      f(xn-2 )      f(xn-2,xn-1 )   f(xn-2 ,xn-1 ,xn )     ...           -                   -
xn-1      f(xn-1 )      f(xn-1 ,xn )         -                 ...           -                   -
xn        f(xn )           -                 -                 ...           -                   -

Страницы