Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

3
числовой коэффициент при m –той ( m = 0 ,1, ... n ) базисной функции (1.4)
( x-x
0
)( x-x
1
)...(x-x
m-1
) ,
обозначенный здесь символом
f( x
0
, x
1
, ... , x
m
) , (1.6)
называется разделённой разностью m – го порядка в узле x
0
. Эта величина
полностью определяется значениями функции f в узлах x
0
, x
1
, ... , x
m
, что и
отражено в обозначении.
Достоинство представления (1.5) состоит, в частности , в том , что при
добавлении к группе узлов (1.1) дополнительного узла x
n+1
для получения
многочлена p
n+1
( x; f ) к сумме (1.5) придётся лишь добавить дополнительное
слагаемое
f( x
0
, x
1
, ... , x
n
, x
n+1
)( x-x
0
)( x-x
1
)...( x-x
n-1
)( x-x
n
) ,
тогда как для многочлена Лагранжа (1.2) наряду с прибавлением
дополнительного слагаемого придётся менять и дроби, фигурирующие в сумме
(1.2).
Укажем общий принцип конструирования разделённых разностей от
функции, заданной таблицей своих значений в узлах (1.1) ; из этого принципа
будет следовать и способ вычисления коэффициентов (1.6) разложения (1.5).
Таблица 1.
узлы x
0
x
1
. . . . .
x
n
Значения
функции
f( x
0
) f( x
1
) . . . . . f( x
n
)
Разделённые разности определяются индуктивно : разделённая разность m-
того порядка выражается через разделённые разности предшествующего (m-1)-го
порядка.
Разделённой разностью 0-го порядка в узле x
k
( k=0,1, ... ,n ) называется
значение f( x
k
) функции f в этом узле. Таким образом, имеем n+1
разделённых разностей 0-го порядка:
f( x
0
) , f( x
1
) , ... , f( x
n
) . (1.7) 
                                               3
числовой коэффициент при m –той ( m = 0 ,1, ... n ) базисной функции (1.4)

                                ( x-x0 )( x-x1 )...(x-xm-1 ) ,

обозначенный здесь символом

                                      f( x0 , x1 , ... , xm ) ,                            (1.6)

называется разделённой разностью m – го порядка в узле x0 . Эта величина
полностью определяется значениями функции f в узлах x0 , x1 , ... , xm , что и
отражено в обозначении.
      Достоинство представления (1.5) состоит, в частности, в том, что при
добавлении к группе узлов (1.1) дополнительного узла xn+1 для получения
многочлена pn+1( x; f ) к сумме (1.5) придётся лишь добавить дополнительное
слагаемое

             f( x0 , x1 , ... , xn , xn+1 )( x-x0 )( x-x1 )...( x-xn-1 )( x-xn ) ,

тогда как для многочлена Лагранжа (1.2) наряду с прибавлением
дополнительного слагаемого придётся менять и дроби, фигурирующие в сумме
(1.2).
      Укажем общий принцип конструирования разделённых разностей от
функции, заданной таблицей своих значений в узлах (1.1) ; из этого принципа
будет следовать и способ вычисления коэффициентов (1.6) разложения (1.5).

                                        Таблица 1.

узлы                   x0                    x1                   . . . . .            xn
Значения             f( x0 )               f( x1 )                . . . . .          f( xn )
функции


      Разделённые разности определяются индуктивно: разделённая разность m-
того порядка выражается через разделённые разности предшествующего (m-1)-го
порядка.
      Разделённой разностью 0-го порядка в узле xk ( k=0,1, ... ,n ) называется
значение f( xk ) функции f в этом узле. Таким образом, имеем n+1
разделённых разностей 0-го порядка:

                               f( x0 ) , f( x1 ) , ... , f( xn ) .                         (1.7)

Страницы