Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
Разделённая разность 1 - го порядка в узле x
k
( k=0,1, ... ,n-1 ) обозначается
символом
f( x
k
, x
k+1
) (1.8)
и выражается через разделённые разности 0-го порядка в узлах x
k
, x
k+1
по
формуле
f( x
k
, x
k+1
) = ( f( x
k
) – f( x
k+1
) ) / ( x
k
– x
k+1
) . (1.9)
Таким образом, при построении разделённой разности (1.8) берётся разность
разделённых разностей (1.7) предшествующего порядка в узлах x
k
, x
k+1
и
делится на разность аргументов разделённой разности (1.8); отсюда и
происхождение термина – «разделённая разность» .
Всего имеется n разделённых разностей 1-го порядка:
f( x
0
, x
1
) = ( f( x
0
) – f( x
1
) ) / ( x
0
– x
1
) , f( x
1
, x
2
) = ( f( x
1
) – f( x
2
) ) / ( x
1
–
- x
2
) , ... , f( x
n – 1
, x
n
) = ( f( x
n – 1
) – f( x
n
) ) / ( x
n – 1
– x
n
) .
Разделённая разность 2-го порядка в узле x
k
( k = 0,1, ... ,n – 2 )
обозначается символом
f( x
k
, x
k+1
, x
k+2
) . (1.10)
Для построения этой разности берём разность разделённых разностей 1-го
порядка в узлах x
k
, x
k+1
и делим её на разность крайних аргументов величины
(1.10):
f( x
k
, x
k+1
, x
k+2
) = ( f( x
k
, x
k+1
) – f( x
k+1
, x
k+2
) ) / ( x
k
– x
k+2
) .
Всего имеем n – 1 разделённых разностей 2-го порядка:
f( x
0
, x
1
, x
2
) = ( f( x
0
, x
1
) – f( x
1
, x
2
) ) / ( x
0
– x
2
) ,
f( x
1
, x
2
, x
3
) = ( f( x
1
, x
2
) – f( x
2
, x
3
) ) / ( x
1
– x
3
) , ... ,
f( x
n – 2
, x
n – 1
, x
n
) = ( f( x
n – 2
, x
n – 1
) – f( x
n – 1
, x
n
) ) ( x
n- 2
– x
n
) .
В общем случае , разделённая разность m-того порядка ( m=1,2, ... ,n ) в
узле x
k
( k=0,1, ... , n – m )
f( x
k
, x
k+1
, ... , x
k+m
) (1.11) 
                                                       4
     Разделённая разность 1-го порядка в узле xk ( k=0,1, ... ,n-1 ) обозначается
символом
                                                      f( xk , xk+1 )                            (1.8)

и выражается через разделённые разности 0-го порядка в узлах xk , xk+1 по
формуле

                         f( xk , xk+1 ) = ( f( xk ) – f( xk+1 ) ) / ( xk – xk+1 ) .             (1.9)

Таким образом, при построении разделённой разности (1.8) берётся разность
разделённых разностей (1.7) предшествующего порядка в узлах xk , xk+1 и
делится на разность аргументов разделённой разности       (1.8); отсюда и
происхождение термина – «разделённая разность».
      Всего имеется n разделённых разностей 1-го порядка:

f( x0 , x1 ) = ( f( x0 ) – f( x1 ) ) / ( x0 – x1 ) , f( x1 , x2 ) = ( f( x1 ) – f( x2 ) ) / ( x1 –

- x2 ) , ... , f( xn – 1 , xn ) = ( f( xn – 1 ) – f( xn ) ) / ( xn – 1 – xn ) .

     Разделённая разность                2-го порядка в узле xk ( k = 0,1, ... ,n – 2 )
обозначается символом

                                              f( xk , xk+1, xk+2 ) .                           (1.10)

Для построения этой разности берём разность разделённых разностей 1-го
порядка в узлах xk , xk+1 и делим её на разность крайних аргументов величины
(1.10):
             f( xk , xk+1 , xk+2 ) = ( f( xk , xk+1 ) – f( xk+1 , xk+2 ) ) / ( xk – xk+2 ) .

        Всего имеем n – 1 разделённых разностей 2-го порядка:

f( x0 , x1 , x2 ) = ( f( x0 , x1 ) – f( x1 , x2 ) ) / ( x0 – x2 ) ,

f( x1 , x2 , x3 ) = ( f( x1 , x2 ) – f( x2 , x3 ) ) / ( x1 – x3 ) , ... ,

f( xn – 2 , xn – 1 , xn ) = ( f( xn – 2 , xn – 1 ) – f( xn – 1 , xn ) ) ( xn- 2 – xn ) .

     В общем случае, разделённая разность m-того порядка ( m=1,2, ... ,n ) в
узле xk ( k=0,1, ... , n – m )

                                        f( xk , xk+1 , ... , xk+m )                            (1.11)

Страницы