Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 2 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

2
1
0
. Понятие разделённой разности .
Пусть
x
0
, x
1
, ... , x
n
(1.1)
-узлы интерполяции.
Представление интерполяционного многочлена p
n
( x;f ) в виде многочлена
Лагранжа
есть разложение интерполяционного многочлена по базису из многочленов n – ой
степени
роль коэффициентов при базисных функциях (1.3) в этом разложении играют
значения f(x
k
) интерполируемой функции f .
Представление интерполяционного многочлена p
n
( x;f ) в виде разложения
по другому базису в пространстве многочленов степени не выше n , а именно по
базису, состоящему из многочленов
1 , (
x-x
0
) , ( x-x
0
)( x-x
1
) , ... , ( x-x
0
)( x-x
1
)...( x-x
n-1
) , (1.4)
даёт многочлен Ньютона
p
n
( x;f )=f(
x
0
) + f( x
0
, x
1
)( x-x
0
) + f( x
0
, x
1
, x
2
)( x-x
0
)( x-x
1
) + ... +
+ f( x
0
, x
1
, ... , x
m
)( x-x
0
)( x-x
1
) ... ( x-x
m-1
) + ...
...+ f( x
0
, x
1
, ... , x
n
)( x-x
0
)( x-x
1
)...( x-x
n-1
) ; (1.5)
∑
∏
∏
=
≠
=
≠
=
−
−
=
n
0k
n
kj
0j
jk
n
kj
0j
j
kn
)2.1(
)xx(
)xx(
)x(f)f;x(p
)3.1(;n,...,1,0k,
)xx(
)xx(
l
n
kj
0j
jk
n
kj
0j
j
n,k
=
−
−
=
∏
∏
≠
=
≠
=
                                                   2
        0
      1 . Понятие разделённой разности.


      Пусть
                                    x0 , x1 , ... , xn                                       (1.1)

-узлы интерполяции.
      Представление интерполяционного многочлена pn( x;f ) в виде многочлена
Лагранжа
                                                              n
                                                             ∏ ( x −x j )
                                            n                j =0
                                                             j ≠k
                            p n ( x ; f ) = ∑ f ( xk )       n
                                                                                            ( 1.2 )
                                           k =0
                                                         ∏ ( xk −x j )
                                                         j =0
                                                         j ≠k
есть разложение интерполяционного многочлена по базису из многочленов n – ой
степени

                                    n
                                  ∏ ( x −x j )
                                  j =0
                                  j ≠k
                        lk ,n =   n
                                                         ,          k =0 ,1, ... , n    ;   ( 1.3 )
                                  ∏ ( xk −x j )
                                  j =0
                                  j ≠k

роль коэффициентов при базисных функциях (1.3) в этом разложении играют
значения f(xk) интерполируемой функции f .
      Представление интерполяционного многочлена pn( x;f ) в виде разложения
по другому базису в пространстве многочленов степени не выше n , а именно по
базису, состоящему из многочленов

            1 , ( x-x0 ) , ( x-x0 )( x-x1 ) , ... , ( x-x0 )( x-x1 )...( x-xn-1 ) ,          (1.4)

даёт многочлен Ньютона

 pn( x;f )=f( x0 ) + f( x0 , x1 )( x-x0 ) + f( x0 , x1 , x2 )( x-x0 )( x-x1 ) + ... +

+ f( x0 , x1 , ... , xm )( x-x0 )( x-x1) ... ( x-xm-1 ) + ...

  ...+ f( x0 , x1 , ... , xn )( x-x0 )( x-x1)...( x-xn-1 ) ;                                 (1.5)

Страницы