Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
(x
k+m
– x
k
)(x
k+m
– x
k+1
) ... (x
k+m
– x
k+m-1
) ; (2.5)
в обозначениях (2.3) формула (2.1) примет вид :
(2.6)
Доказательство теоремы 2.1. Для разделённых разностей 1 - го порядка
справедливость теоремы непосредственно усматривается из формулы (1.9), если
переписать её в виде
f(x
k
,x
k+1
)= f(x
k
) / (x
k
– x
k+1
)+ f(x
k+1
) / (x
k+1
– x
k
).
Пусть представления (2.1) имеют место для разделённых разностей (1.12)
m-того порядка. Покажем , что тогда они имеют место и для разделённых
разностей (m+1)-вого порядка. Этот факт мы установим для разделённой
разности (m+1)-вого порядка в узле x
0
:
для остальных узлов рассуждения аналогичны .
Используя определение разделённой разности и предположение индукции,
будем иметь :
отсюда, выделяя из первой суммы слагаемое с i=0 , а из второй – с i= m+1 , и
записывая их с использованием обозначений (2.4),(2.5), получим :
∑
∏
∑
∏
+
=
+
≠
=
=
≠
=
+
+
+
+
−
−
−
−
=
=
−
−
=
1m
1i
1m
ij
1j
ji
i
m
0i
m
ij
0j
ji
i
1m0
1m0
1m21m10
1mm10
;)
)xx(
1
)x(f
)xx(
1
)x(f(
xx
1
xx
)x,...,x,x(f)x,...,x,x(f
)x,x,...,x,x(f
.
)xx)...(xx)(xx)...(xx(
1
)x(f)x,...,x,x(f
mk
k
i
mki1ii1iiki
imk1kk
∑
+
=
++−
++
−−−−
=
∑
∏
+
=
+
≠
=
+
−
=
1m
0i
1m
ij
0j
ji
i1m10
)7.2(;
)xx(
1
)x(f)x,...,x,x(f
                                                        7


                        (xk+m – xk )(xk+m – xk+1 ) ... (xk+m – xk+m-1 ) ;                         (2.5)

в обозначениях (2.3) формула (2.1) примет вид:

                              k +m
                                                                          1
f ( xk , xk +1 , ... , xk +m ) = ∑ f ( xi )                                                            .
                               i =k            ( xi −xk )...( xi −xi −1 )( xi −xi +1 )...( xi −xk +m )

                                                                                                  (2.6)

     Доказательство теоремы 2.1. Для разделённых разностей 1-го порядка
справедливость теоремы непосредственно усматривается из формулы (1.9), если
переписать её в виде

                   f(xk ,xk+1 )= f(xk ) / (xk – xk+1 )+ f(xk+1 ) / (xk+1 – xk ).

     Пусть представления (2.1) имеют место для разделённых разностей (1.12)
m-того порядка. Покажем, что тогда они имеют место и для разделённых
разностей (m+1)-вого порядка. Этот факт мы установим для разделённой
разности (m+1)-вого порядка в узле x0 :

                                                       m +1
                                                                             1
                        f ( x0 , x1 , ... , xm +1 ) = ∑ f ( xi ) m +1                     ;      ( 2.7 )
                                                       i =0
                                                                      ∏ ( xi −x j )
                                                                      j =0
                                                                      j ≠i
для остальных узлов рассуждения аналогичны.
      Используя определение разделённой разности и предположение индукции,
будем иметь:

                                      f ( x0 , x1 , ... , xm ) − f ( x1 , x2 , ... , xm +1 )
f ( x0 , x1 , ... , xm , xm +1 ) =                                                           =
                                                           x0 −xm +1
                              m                       m +1
                      1                      1                         1
                =          ( ∑ f ( xi ) m            − ∑ f ( xi ) m +1          );
                  x0 −xm +1 i =0
                                        ∏ ( xi −x j ) i =1        ∏ ( xi −x j )
                                                     j =0                                 j =1
                                                     j ≠i                                 j ≠i


отсюда, выделяя из первой суммы слагаемое с i=0 , а из второй – с i= m+1 , и
записывая их с использованием обозначений (2.4),(2.5), получим:

Страницы