Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
и представить разделённую разность
f(y
k
,y
k+1
, ... ,y
k+m
)
согласно теореме 2.1 в виде
то получим сумму, которая отличается от суммы (2.1) лишь порядком
слагаемых. А это значит, что справедливо
Следствие 2.4. Разделённая разность не меняется при произвольной
перестановке своих аргументов.
Следующее утверждение устанавливает важное свойство разделённых
разностей от многочлена.
Теорема2.5. Разделённая разность n-го порядка
p(x
0
,x
1
, ... ,x
n
)
от многочлена p степени ≤ n есть константа, одна и та же для любого набора
узлов интерполяции
x
0
,x
1
, ... ,x
n
,
а разделённая разность (n+1)-вого порядка при любых узлах интерполяции равна
нулю :
p(x
0
,x
1
, ... ,x
n
,x
n+1
) = 0 . (2.11)
Доказательство. Пусть x – произвольная точка вещественной оси, отличная
от узла x
0
. Считая x переменным узлом интерполяции, составим разделённую
разность 1 – вого порядка
p(x, x
0
) =
( p(x) – p(x
0
) / (x – x
0
) . (2.12)
Числитель написанной дроби, рассматриваемый как функция на всей
вещественной прямой, есть многочлен степени не выше n, обращающийся в нуль
при x = x
0
. Но тогда по теореме Безу этот числитель можно представить на
вещественной прямой в виде:
∑
∏
+
=
+
≠
=
++
−
=
km
ki
km
ij
kj
ji
imk1kk
,
)yy(
1
)y(f)y,...,y,y(f
                                              10


и представить разделённую разность

                                    f(yk ,yk+1 , ... ,yk+m )

согласно теореме 2.1 в виде

                                    m +k
                                                             1
       f ( yk , yk +1 , ... , yk +m ) = ∑ f ( yi ) m +k               ,
                                     i =k
                                                   ∏ ( yi −y j )
                                                    j =k
                                                    j ≠i
то получим сумму, которая отличается от суммы (2.1) лишь порядком
слагаемых. А это значит, что справедливо
      Следствие 2.4. Разделённая разность не меняется при произвольной
перестановке своих аргументов.
      Следующее утверждение устанавливает важное свойство разделённых
разностей от многочлена.
      Теорема2.5. Разделённая разность n-го порядка

                                      p(x0 ,x1 , ... ,xn )

от многочлена p степени ≤ n есть константа, одна и та же для любого набора
узлов интерполяции

                                       x0 ,x1 , ... ,xn ,

а разделённая разность (n+1)-вого порядка при любых узлах интерполяции равна
нулю:

                                       p(x0 ,x1 , ... ,xn ,xn+1 ) = 0 .   (2.11)

      Доказательство. Пусть x – произвольная точка вещественной оси, отличная
от узла x0 . Считая x переменным узлом интерполяции, составим разделённую
разность 1 – вого порядка

                         p(x, x0 ) = ( p(x) – p(x0 ) / (x – x0 ) .        (2.12)

Числитель написанной дроби, рассматриваемый как функция на всей
вещественной прямой, есть многочлен степени не выше n, обращающийся в нуль
при x = x0 . Но тогда по теореме Безу этот числитель можно представить на
вещественной прямой в виде:

Страницы