Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
y
0
,y
1
, ... ,y
n
справедливо равенство:
p(y
0
,y
1
, ... ,y
n
) = p(x
0
,x
1
, ... ,x
n
) .
Поскольку переход от одного набора узлов к другому можно осуществить
последовательно, меняя на каждом шаге лишь один узел , достаточно доказать
равенство разделённых разностей для наборов, у которых n узлов являются
общими; при этом , поскольку перенумерация узлов не меняет значений
разделённых разностей , без ограничения общности можно считать , что
отличными являются узлы с номером n :
x
i
= y
i
, i = 0, 1, ... , n - 1 , x
n
≠ y
n
.
А в этом случае двукратное использование равенств типа (2.14) даёт:
p(y
0
,y
1
, ... ,y
n
) = p(x,y
0
,y
1
, ... ,y
n-1
) = p(x,x
0
,x
1
, ... ,x
n-1
) = p(x
0
,x
1
, ... ,x
n
) .
Наконец , для разделённой разности порядка n+1 имеем :
p(x
0
,x
1
, ... ,x
n
,x
n+1
) = ( p(x
0
,x
1
, ... ,x
n
) – p(x
1
,x
2
, ... ,x
n+1
) ) / (x
0
- x
n+1
) =
= ( c – c ) / ( x
0
- x
n+1
) = 0 ,
что и завершает доказательство.
Отметим , что установленные только что свойства разделённых разностей от
многочлена полностью аналогичны свойствам производных.
3
0
. Многочлен Ньютона.
Пусть x – точка, отличная от узлов интерполяции:
x ≠ x
0
, x
1
, ... , x
n
.
Рассматривая x как дополнительный узел интерполяции, составим
разделённую разность первого порядка
f(x, x
0
) = ( f(x) – f(x
0
) ) / ( x – x
0
) 
                                                    12


                                               y 0 ,y1 , ... ,yn

справедливо равенство:

                              p(y0 ,y1 , ... ,yn ) = p(x0 ,x1 , ... ,xn ) .

      Поскольку переход от одного набора узлов к другому можно осуществить
последовательно, меняя на каждом шаге лишь один узел, достаточно доказать
равенство разделённых разностей для наборов, у которых n узлов являются
общими; при этом, поскольку перенумерация узлов не меняет значений
разделённых разностей , без ограничения общности можно считать, что
отличными являются узлы с номером n :

                             xi = yi , i = 0, 1, ... , n - 1 , xn ≠yn .

А в этом случае двукратное использование равенств типа (2.14) даёт:

p(y0 ,y1 , ... ,yn ) = p(x,y0 ,y1 , ... ,yn-1 ) = p(x,x0 ,x1 , ... ,xn-1 ) = p(x0 ,x1 , ... ,xn ) .

       Наконец, для разделённой разности порядка n+1 имеем:

p(x0 ,x1 , ... ,xn ,xn+1 ) = ( p(x0 ,x1 , ... ,xn ) – p(x1 ,x2 , ... ,xn+1 ) ) / (x0 - xn+1 ) =

= ( c – c ) / ( x0 - xn+1 ) = 0 ,

что и завершает доказательство.
      Отметим, что установленные только что свойства разделённых разностей от
многочлена полностью аналогичны свойствам производных.


       30. Многочлен Ньютона.


       Пусть x – точка, отличная от узлов интерполяции:

                                         x ≠x0 , x1 , ... , xn .

      Рассматривая x как дополнительный узел интерполяции, составим
разделённую разность первого порядка

                               f(x, x0 ) = ( f(x) – f(x0 ) ) / ( x – x0 )

Страницы