Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
А так как в силу формулы (2.1) совпадение значений двух функций в узлах
интерполяции гарантирует равенство их разделённых разностей , в формуле (3.3)
разделённые разности от многочлена p
n
можно заменить разделёнными
разностями от интерполируемой функции f , и тогда эта формула примет вид :
p
n
(x) = f(x
0
) + f(x
0
, x
1
)( x – x
0
) + ... + f(x
0
, x
1
, ... , x
k
)( x – x
0
)( x – x
1
) ...
... ( x – x
k – 1
) + ... + f(x
0
, x
1
, ... , x
n
)( x – x
0
)( x – x
1
) … ( x – x
n – 1
) . (3.4)
Итак , доказано утверждение:
Теорема 3.1. Интерполяционный многочлен p
n
(x ; f ) , построенный по
системе узлов x
0
, x
1
, ... , x
n
, выражается через разделённые разности функции f
в узле x
0
согласно формуле (3.4).
Отметим , что ранее интерполяционный многочлен, записанный в форме
(3.4), мы назвали многочленом Ньютона.
Замечание 3.2.Проведенные рассуждения позволяют и выписать формулу
для погрешности интерполяционного многочлена. Именно , сопоставляя формулы
(3.2) и (3.4), получим :
f(x) – p
n
(x) = f(x, x
0
, x
1
, ... , x
n
)( x – x
0
)( x – x
1
) ... ( x – x
n
) ; (3.5)
это и есть новая формула для погрешности.
Конечно , непосредственно воспользоваться этой формулой нельзя , так как
для вычисления фигурирующей в ней разделённой разности (n+1) – го порядка
f(x, x
0
, x
1
, ... , x
n
) (3.6)
нужно знать значение функции f в точке x. Однако, если наблюдение за
таблицей значений функции f , из которой берутся узлы интерполяции и
значения функции, показывает, что разделённые разности (n+1) – го порядка
меняются мало, то можно, выбрав из таблицы дополнительный узел x
n+1
,
вычислить разделённую разность
f(x
0
, x
1
, ... , x
n+1
)
и подставить её в (3.5) вместо неизвестной разделённой разности (3.6); в
результате получим приближённое значение погрешности.
Ранее мы уже указывали на аналогию между разделёнными разностями и
производными. Теперь мы можем описать эту аналогию более точно.
Теорема 3.3. Для разделённой разности m – го порядка в узле x
k
от
функции f класса C
m
справедливо представление: 
                                                   14


А так как в силу формулы (2.1) совпадение значений двух функций в узлах
интерполяции гарантирует равенство их разделённых разностей, в формуле (3.3)
разделённые разности от многочлена pn можно заменить разделёнными
разностями от интерполируемой функции f , и тогда эта формула примет вид:

pn (x) = f(x0 ) + f(x0 , x1 )( x – x0 ) + ... + f(x0 , x1 , ... , xk )( x – x0 )( x – x1 ) ...

  ... ( x – xk – 1 ) + ... + f(x0 , x1 , ... , xn )( x – x0 )( x – x1 ) …( x – xn – 1 ) .        (3.4)

       Итак, доказано утверждение:
       Теорема 3.1. Интерполяционный многочлен pn (x ; f ) , построенный по
системе узлов x0 , x1 , ... , xn , выражается через разделённые разности функции f
в узле x0 согласно формуле (3.4).
       Отметим, что ранее интерполяционный многочлен, записанный в форме
(3.4), мы назвали многочленом Ньютона.
       Замечание 3.2.Проведенные рассуждения позволяют и выписать формулу
для погрешности интерполяционного многочлена. Именно, сопоставляя формулы
(3.2) и (3.4), получим:

 f(x) – pn (x) = f(x, x0 , x1 , ... , xn )( x – x0 )( x – x1 ) ... ( x – xn ) ;                  (3.5)

это и есть новая формула для погрешности.
      Конечно, непосредственно воспользоваться этой формулой нельзя, так как
для вычисления фигурирующей в ней разделённой разности (n+1) – го порядка

                                         f(x, x0 , x1 , ... , xn )                               (3.6)

нужно знать значение функции f в точке x. Однако, если наблюдение за
таблицей значений функции f , из которой берутся узлы интерполяции и
значения функции, показывает, что разделённые разности (n+1) – го порядка
меняются мало, то можно, выбрав из таблицы дополнительный узел xn+1 ,
вычислить разделённую разность

                                        f(x0 , x1 , ... , xn+1 )

и подставить её в (3.5) вместо неизвестной разделённой разности (3.6); в
результате получим приближённое значение погрешности.
      Ранее мы уже указывали на аналогию между разделёнными разностями и
производными. Теперь мы можем описать эту аналогию более точно.
      Теорема 3.3. Для разделённой разности m – го порядка в узле xk от
                    m
функции f класса C справедливо представление:

Страницы