Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
f(y
k
,y
k+1
, ... ,y
k+m
) = ( f(y
k
,y
k+1
, ... , y
k+m– 1
) –
- f(y
k+1
,y
k+2
, ... ,y
k+m
) )/(y
k
– y
k+m
) . (4.9)
Наконец , если крайние ( а тогда и все остальные ) аргументы y
k
,y
k+m
разделённой разности как точки вещественной оси совпадают:
y
k
= y
k+1
= ... =y
k+m
= x
i
,
то используется иная формула:
f(y
k
,y
k+1
, ... ,y
k+m
) = (1/m!) f
(m)
(x
i
) . (4.10)
В качестве примера составим интерполяционный многочлен в случае двух
узлов интерполяции x
0
,x
1
с кратностями, равными двум .
Таблица разделённых разностей с кратными узлами имеет в данном случае
вид:
Таблица 3.
x
0
f(x
0
) f(x
0
,x
0
)
f(x
0
,x
0
,x
1
) f(x
0
,x
0
,x
1
,x
1
)
x
0
f(x
0
) f(x
0
,x
1
) f(x
0
,x
1
,x
1
) -
x
1
f(x
1
) f(x
1
,x
1
) - -
x
1
f(x
1
) - - -
В первом столбце этой таблицы записана последовательность узлов (4.4),
второй столбец составлен из разделённых разностей 0 – го порядка. В третьем
столбце находятся разделённые разности 1 – го порядка, которые согласно
(4.9), (4.10) вычисляются по формулам :
f(x
0
,x
0
) = ( 1/1! ) f
′
(x
0
) = f
′
(x
0
) , f(x
0
,x
1
) = ( f(x
0
) – f(x
1
) / (x
0
- x
1
) ,
f(x
1
,x
1
) = ( 1/1! ) f
′
(x
1
) = f
′
(x
1
) . (4.11)
В четвёртом столбце расположены разделённые разности 2 – го порядка:
)12.4(.
xx
)x(f
xx
)x(f)x(f
xx
)x,x(f)x,x(f
)x,x,x(f
,
xx
xx
)x(f)x(f
)x(f
xx
)x,x(f)x,x(f
)x,x,x(f
1
0
1
10
10
1
0
1110
110
10
10
10
0
10
1000
100
−
′
−
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
′
=
−
−
=
                                                      18
f(yk ,yk+1, ... ,yk+m ) = ( f(yk ,yk+1 , ... , yk+m– 1 ) –

                                                    - f(y k+1 ,yk+2 , ... ,yk+m ) )/(yk – yk+m ) .       (4.9)

      Наконец, если крайние ( а тогда и все остальные ) аргументы                                      yk ,yk+m
разделённой разности как точки вещественной оси совпадают:

                                       yk = yk+1= ... =yk+m = xi ,

то используется иная формула:

                     f(yk ,yk+1 , ... ,yk+m ) = (1/m!) f (m)(xi ) .                                     (4.10)

      В качестве примера составим интерполяционный многочлен в случае двух
узлов интерполяции x0 ,x1 с кратностями, равными двум.
      Таблица разделённых разностей с кратными узлами имеет в данном случае
вид:
                                                Таблица 3.

          x0         f(x0 )            f(x0 ,x0 )             f(x0 ,x0 ,x1 )      f(x0 ,x0 ,x1 ,x1 )
          x0         f(x0 )            f(x0 ,x1 )             f(x0 ,x1 ,x1 )              -
          x1         f(x1 )            f(x1 ,x1 )                   -                     -
          x1         f(x1 )                -                        -                     -

       В первом столбце этой таблицы записана последовательность узлов (4.4),
второй столбец составлен из разделённых разностей 0 – го порядка. В третьем
столбце находятся разделённые разности 1 – го порядка, которые согласно
(4.9), (4.10) вычисляются по формулам:

f(x0 ,x0 ) = ( 1/1! ) f ′ (x0 ) = f ′ (x0 ) , f(x0 ,x1 ) = ( f(x0 ) – f(x1 ) / (x0 - x1 ) ,

f(x1 ,x1 ) = ( 1/1! ) f ′ (x1 ) = f ′ (x1 ) .                                                          (4.11)

В четвёртом столбце расположены разделённые разности 2 – го порядка:
                                                                       f ( x0 ) − f ( x1 )
                                                           f ′( x0 ) −
                         f ( x0 , x0 ) − f ( x0 , x1 )                      x0 −x1
  f ( x0 , x0 , x1 ) =                                 =                                     ,
                                   x0 −x1                             x0 −x1
                                                       f ( x0 ) − f ( x1 )
                                                                           − f ′( x1 )
                       f ( x0 , x1 ) − f ( x1 , x1 )        x0 −x1
  f ( x0 , x1 , x1 ) =                               =                                 .               ( 4.12 )
                                 x0 −x1                          x0 −x1

Страницы