Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 2. Многочлен Ньютона. Гудович Н.Н. - 25 стр.

                                                     25
как в проведенном рассуждении узел x1 можно, очевидно, заменить любым из
узлов x2 , x3 , ... , xn , ясно, что выполнены и остальные из условий (4.3).
      Замечание 4.4. Интерполяцию с кратными узлами изучал французский
математик 19 –го века Шарль Эрмит, поэтому описанный в определении 4.1
интерполяционный многочлен с кратными узлами ps-1(x) называют многочленом
Эрмита. Формулы (4.6) – (4.8) дают запись этого многочлена в форме Ньютона.
Если все узлы интерполяции простые ( s0 =s1 = ... =sn = 1 ), то из этих формул
получается обычный многочлен Ньютона. Если же имеется лишь один узел
интерполяции x0 , то формулы (4.6) – (4.8) в сочетании с формулой (4.10) для
разделённых разностей дадут, очевидно, многочлен Тейлора для функции f.
Достаточно часто встречается и случай, когда кратности всех узлов интерполяции
равны двум ( s0=s1= ... =sn =2 ) , т.е. когда в каждом узле заданы значения самой
функции и её первой производной; в этом случае будем говорить о многочлене
Эрмита в узком смысле.
      Замечание 4.5. Погрешность интерполяционного многочлена Эрмита в
                                         s
точке x∈ [ a ,b ] для функции f∈ C [a,b] задаётся формулой:

f ( x ) − p s −1( x ) = f ( x , x0 , x0 , ... , x0 , ... , xn , xn , ... , xn ) ( x −x0 )s0 ...( x −xn )sn   .
                                                            
                                       s0                    sn
                                                                                                     ( 4.29 )

Предлагаем читателю вывести эту формулу самостоятельно (см. упражнение 10
и замечание к нему ).


       50. Задачи и упражнения.

       1. Выписать формулу линейной интерполяции на основе многочлена
          Ньютона.
       2. Для функции f , заданной своими значениями           f0 , f1 , f2 в
          равноотстоящих узлах x0 , x0+h, x0+2h          , выписать формулу
          квадратичной интерполяции на основе многочлена Ньютона.
       3. Функция f принимает в узлах 0, 1, 2, 3 соответственно значения 2, 3,
          10, 29. Составить таблицу разделенных разностей.
       4. Для функции f из предыдущего упражнения составить многочлен
          Ньютона и вычислить его значение в точке            x=1,5. Оценить
          погрешность       этого    приближённого      значения     функции,
          воспользовавшись дополнительным значением функции в узле x=4,
          равным 68.
       5. Пусть f задана таблицей своих значений в равноотстоящих узлах

                              xk =x0+kh ,                         k = 0, 1, ... , n .