ВУЗ:
Составители:
34
10. Используя методики из
замечаний 4.1 и 4.2 , вывести
аналоги формул (4.27), (4.29) для интерполяционной формулы
центрального прямоугольника и локально интерполяционной формулы
центральных прямоугольников.
11. Показать , что для подинтегральных функций f класса C
2
[a,b]
остаточный член локально интерполяционной формулы трапеций может
быть представлен в виде
Указание: применить формулу типа (4.10) к частичным отрезкам
разбиения [x
i
, x
i+1
] и воспользоваться методикой из замечания 4.2.
12. Оценить абсолютную величину погрешности приближенного значения
интеграла по отрезку [0,1] от функции exp(-x
2
) , если последнее
вычислено по локально интерполяционной формуле трапеций с шагом
h=0.01.
13. Указать число N частичных отрезков разбиения , при котором в случае
приближённого вычисления интеграла от функции exp( - x
2
) по
отрезку [0,1] с помощью локально интерполяционной формулы
трапеций абсолютная величина погрешности окажется меньше 0,0001.
14. Вывести формулу Симпсона с остаточным членом
Указание: составить для функции f интерполяционный многочлен
Эрмита p
3
(x) с узлами x
0
= a, x
1
= b кратности 1 и узлом x
2
= (a+b)/2
кратности 2, и затем проинтегрировать по отрезку [a,b] равенство
5
0
. Литература .
1. Волков Е.А. Численные методы . М .: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982.-
256 с.
2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы : Учеб .
пособие. – М .: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 600 с.
.]b,a[,)(f
N
)ab(
12
1
)(fh)ab(
12
1
)f(R
2
3
2
N
1
∈
′′
−
−=
′′
−−= ξξξ
].b,a[,)(f
2880
)ab(
))b(f)
2
ba
(f4)a(f(
6
)ab(
dx)x(f
IV
5
b
a
∈
−
−+
+
+
−
=
∫
ξξ
.)
2
ba
x)(bx)(ax)(
2
ba
,
2
ba
,b,a,x(f)x(p)x(f
2
3
+
−−−
+
+
+=
34
10. Используя методики из замечаний 4.1 и 4.2 , вывести
аналоги формул (4.27), (4.29) для интерполяционной формулы
центрального прямоугольника и локально интерполяционной формулы
центральных прямоугольников.
11. Показать, что для подинтегральных функций f класса C 2[a,b]
остаточный член локально интерполяционной формулы трапеций может
быть представлен в виде
N 1 2 ′′ 1 ( b −a )3
R1 ( f ) =− ( b −a )h f ( ξ ) =− f ′′( ξ ) , ξ ∈[ a , b ] .
12 12 N 2
Указание: применить формулу типа (4.10) к частичным отрезкам
разбиения [xi , xi+1 ] и воспользоваться методикой из замечания 4.2.
12. Оценить абсолютную величину погрешности приближенного значения
интеграла по отрезку [0,1] от функции exp(-x2 ) , если последнее
вычислено по локально интерполяционной формуле трапеций с шагом
h=0.01.
13. Указать число N частичных отрезков разбиения , при котором в случае
приближённого вычисления интеграла от функции exp( - x2 ) по
отрезку [0,1] с помощью локально интерполяционной формулы
трапеций абсолютная величина погрешности окажется меньше 0,0001.
14. Вывести формулу Симпсона с остаточным членом
b
( b −a ) a +b ( b −a )5
∫f ( x )dx = 6 ( f ( a ) +4 f ( 2 ) + f ( b ) ) − 2880 f
IV
( ξ ) , ξ ∈[ a ,b ].
a
Указание: составить для функции f интерполяционный многочлен
Эрмита p3 (x) с узлами x0 = a, x1 = b кратности 1 и узлом x2 = (a+b)/2
кратности 2, и затем проинтегрировать по отрезку [a,b] равенство
a +b a +b a +b 2
f ( x ) = p3 ( x ) + f ( x , a , b , , )( x −a )( x −b )( x − ) .
2 2 2
50. Литература.
1. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982.-
256 с.
2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб.
пособие. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 600 с.
