Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

33
5
0
. Задачи и упражнения.
1. Вывести интерполяционную квадратурную формулу « трех восьмых ».
2. Вывести локально интерполяционную квадратурную формулу «трёх
восьмых» .
3. Выписать многочлены Лежандра (3.8) при m = 1, 2, 3 , изобразить их
графики на отрезке [-1,1] и найти корни этих многочленов.
4. Вывести интерполяционные квадратурные формулы Гаусса с одним,
двумя и тремя узлами.
5. Доказать , что выражение f
(n+1)
(ξ(x)) из формулы для погрешности
интерполяционного многочлена
может быть доопределено в узлах интерполяции до непрерывной на
отрезке [a,b] функции переменной x. Указание: представить это
выражение в виде
и перейти к пределу при x → x
i
.
6. Вывести соотношение (4.21) для практической оценки погрешности
локально интерполяционной формулы трапеций.
7. Вывести выражение (4.22) для уточнённого по Ричардсону
приближённого значения интеграла.
8. Показать , что в случае, когда в качестве узлов локально
интерполяционной квадратурной формулы прямоугольников взяты не
середины частичных отрезков разбиения, а точки, делящие эти
отрезки в каком-либо ином отношении, погрешность формулы на
классе C
1
[a,b] есть величина порядка O(h).
9. Считая подинтегральную функцию f принадлежащей классу C
2
[a,b],
на основе равенства (4.23) вывести для локально интерполяционной
квадратурной формулы центральных прямоугольников формулу Рунге
для практической оценки погрешности и формулу Ричардсона для
уточненного значения интеграла.
)xx(...)xx)(xx(...
...)xx))(x((f
)!1n(
1
)x(p)x(f
n
1
i
1
i
0
)1n(
n
−−−
−
+
=−
+
−
+
ξ
i
inin
n1i1i0
)1n(
xx
))x(p)x(f())x(p)x(f(
)xx(...)xx)(xx(...)xx(
)!1n(
))x((f
−
−−−
⋅
⋅
−−−−
+
=
+−
+
ξ
                                             33


50. Задачи и упражнения.


1. Вывести интерполяционную квадратурную формулу « трех восьмых ».
2. Вывести локально интерполяционную квадратурную формулу «трёх
   восьмых».
3. Выписать многочлены Лежандра (3.8) при m = 1, 2, 3 , изобразить их
   графики на отрезке [-1,1] и найти корни этих многочленов.
4. Вывести интерполяционные квадратурные формулы Гаусса с одним,
   двумя и тремя узлами.
                                (n+1)
5. Доказать, что выражение f          (ξ(x)) из формулы для погрешности
   интерполяционного многочлена

                             1
     f ( x ) − pn ( x ) =            f ( n +1 ) ( ξ( x ))( x −x0 ) ...
                         ( n +1 )!
                             ... ( x −xi −1 )( x −xi +1 ) ... ( x −xn )

     может быть доопределено в узлах интерполяции до непрерывной на
     отрезке [a,b] функции переменной x. Указание: представить это
     выражение в виде

                                                   ( n +1 )!
         f ( n +1 ) ( ξ( x )) =                                                   ⋅
                               ( x −x0 ) ...( x −xi −1 )( x −xi +1 ) ...( x −xn )
                     ( f ( x ) − pn ( x )) −( f ( xi ) − pn ( xi ))
                 ⋅
                                         x −xi

     и перейти к пределу при x → xi .
6.   Вывести соотношение (4.21) для практической оценки погрешности
     локально интерполяционной формулы трапеций.
7.   Вывести выражение        (4.22)    для уточнённого по Ричардсону
     приближённого значения интеграла.
8.   Показать, что в случае, когда в качестве узлов локально
     интерполяционной квадратурной формулы прямоугольников взяты не
     середины частичных отрезков разбиения, а точки,        делящие эти
     отрезки в каком-либо ином       отношении, погрешность формулы на
              1
     классе C [a,b] есть величина порядка O(h).
                                                                  2
9.   Считая подинтегральную функцию f принадлежащей классу C [a,b],
     на основе равенства (4.23) вывести для локально интерполяционной
     квадратурной формулы центральных прямоугольников формулу Рунге
     для практической оценки погрешности и формулу Ричардсона для
     уточненного значения интеграла.

Страницы