Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

32
просуммируем их по i и разделим результат на число частичных отрезков
разбиения N. Тогда получим:
А так как непрерывная на отрезке [a,b] функция f
′ принимает на этом отрезке
все промежуточные между минимальным и максимальным значения, найдётся
точка ξ отрезка [a,b], такая что
подстановка этого выражения в формулу (4.28) и приводит к нужному
выражению для погрешности :
Таким образом, наряду с равенством (4.9), позволяющим вывести формулу
(4.18) для практической оценки погрешности и формулу (4.20) для уточнённого
приближённого значения интеграла, справедливо и равенство
позволяющее в силу вытекающего из него неравенства
оценить погрешность вычисленного по формуле левых прямоугольников
приближенного значения интеграла, если известна оценка модуля производной
подинтегральной функции на отрезке [a,b].
,1N,...,1,0i,)x(fmax)(f)x(fmin
]b,a[x
i
]b,a[x
−
=
′
≤
′
≤
′
∈∈
ξ
.)x(fmax})(f{
N
1
)x(fmin
]b,a[x
1N
0
i
i
]b,a[x
′
≤≤
′
∈
−
=
∈
∑
ξ
;)(f)(f
N
1
1N
0
i
i
ξξ
′
=
′
∑
−
=
.h
2
ab
)(f)(f
2
)ab(
)f(R
2
N
0
−
′
=
′
−
= ξξ
)29.4(,h
2
ab
)(f)x(f
N
ab
dx)x(f
1N
0i
i
b
a
−
′
+
−
=
∑
∫
−
=
ξ
)30.4(h
2
ab
)x(fmax)x(f
N
ab
dx)x(f
]b,a[x
1N
0i
i
b
a
−
′
≤
−
−
∈
−
=
∑
∫
                                                   32


          min        f ′( x ) ≤ f ′( ξi ) ≤ max          f ′( x ) ,    i =0 ,1, ... , N −1 ,
        x∈[ a ,b ]                          x∈[ a ,b ]

просуммируем их по i и разделим результат на число частичных отрезков
разбиения N. Тогда получим:

                                            N −1
                                       1
                  min
                x∈[ a ,b ]
                             f ′( x ) ≤ {
                                       N
                                             ∑ f ( ξi ) } ≤x∈max
                                                             [ a ,b ]
                                                                        f ′( x ) .
                                            i =0

А так как непрерывная на отрезке [a,b] функция f ′ принимает на этом отрезке
все промежуточные между минимальным и максимальным значения, найдётся
точка ξ отрезка [a,b], такая что

                                   1 N −1
                                     ∑ f ′( ξi ) = f ′( ξ ) ;
                                   N i =0

подстановка этого выражения в формулу                         (4.28)    и приводит к нужному
выражению для погрешности:

                                 ( b −a )2                     b −a
                      R0N ( f ) =          f ′( ξ ) = f ′( ξ )      h .
                                     2N                          2

      Таким образом, наряду с равенством (4.9), позволяющим вывести формулу
(4.18) для практической оценки погрешности и формулу (4.20) для уточнённого
приближённого значения интеграла, справедливо и равенство

                                    b −a N −1
                        b
                                                            b −a
                        ∫f ( x )dx = N ∑ f ( xi ) + f ′( ξ ) 2 h ,                         ( 4.29 )
                        a                i =0

позволяющее в силу вытекающего из него неравенства

                        b −a N −1
            b
                                                           b −a
            ∫f ( x )dx − N ∑ f ( xi ) ≤x∈max
                                         [ a ,b ]
                                                  f ′( x )
                                                             2
                                                                h                         ( 4.30 )
            a                i =0

оценить погрешность вычисленного по формуле левых прямоугольников
приближенного значения интеграла, если известна оценка модуля производной
подинтегральной функции на отрезке [a,b].

Страницы