Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

30
означающее, что погрешность локально интерполяционной формулы
центральных прямоугольников на функциях класса C
2
[a,b] есть величина
порядка O(h
2
).
Формулы (4.21), (4.22) сохраняют силу и в случае формулы центральных
прямоугольников, если заменить в них величины I
1
N
, I
1
2N
приближёнными
значениями I
0
N
, I
0
2N
интеграла, вычисленными по этой формуле.
Замечание 4.1. Для вывода выражений для остаточных членов
квадратурных формул часто используют формально - аналитический приём, суть
которого мы поясним на примере формулы левого прямоугольника.
Запишем погрешность указанной квадратурной формулы в виде
и будем рассматривать её как функцию переменной b .
Двукратное дифференцирование выражения (4.24) по b даёт соотношения
Ввиду произвольности b справедливо и равенство
интегрирование которого по отрезку [a,b] с учетом вытекающего из (4.25)
равенства R
0
′ (a)=0 приводит к соотношению
отсюда , применяя теорему о среднем , получаем :
)23.4(,dx)x(f
24
1
c,)h(och)x(fhdx)x(f
b
a
22
1N
0i
2
1
i
b
a
∫
∑
∫
′′
=++=
−
=
+
)24.4(,)ab()a(fdx)x(f)b(R
b
a
0
−−=
∫
)25.4(,)a(f)b(f)b(R
0
−
=
′
.)b(f)b(R
0
′
=
′
′
,bxa,)x(f)x(R
0
≤
≤
′
=
′
′
;dx)x(f)b(R
b
a
0
∫
′
=
′
,)ab()x(f)b(R
0
−
′
=
′
∗
                                              30

  b             N −1                                               b
                                                              1
  ∫f ( x )dx =h ∑ f ( xi +1 2 ) +ch                       c = ∫f ′′( x )dx ,
                                      2            2
                                          +o( h ) ,                             ( 4.23 )
                i =0                                         24
  a                                                                a

означающее, что погрешность локально интерполяционной формулы
центральных прямоугольников на функциях класса C 2[a,b] есть величина
            2
порядка O(h ).
     Формулы (4.21), (4.22) сохраняют силу и в случае формулы центральных
прямоугольников, если заменить в них величины I1N, I12N приближёнными
              N   2N
значениями I0 , I0 интеграла, вычисленными по этой формуле.
     Замечание 4.1. Для вывода выражений для остаточных членов
квадратурных формул часто используют формально-аналитический приём, суть
которого мы поясним на примере формулы левого прямоугольника.
     Запишем погрешность указанной квадратурной формулы в виде

                                 b
                       R0 ( b ) =∫f ( x )dx − f ( a ) ( b −a ) ,               ( 4.24 )
                                 a

и будем рассматривать её как функцию переменной b .
      Двукратное дифференцирование выражения (4.24) по b даёт соотношения

                            R0′ ( b ) = f ( b ) − f ( a ) ,                     ( 4.25 )

                            R0′′ ( b ) = f ′( b ) .

      Ввиду произвольности b справедливо и равенство

                            R0′′ ( x ) = f ′( x ) , a ≤x ≤b ,

интегрирование которого по отрезку [a,b] с учетом вытекающего из (4.25)
равенства R0′ (a)=0 приводит к соотношению

                                          b
                            R0′ ( b ) =∫f ′( x )dx ;
                                          a

отсюда, применяя теорему о среднем, получаем:

                                 R0′ ( b ) = f ′( x∗) ( b −a ) ,

Страницы