Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 29 стр.

                                                     29


функции ω1 (x)=(x-a), ω2 (x)=(x-a)(x-b) не меняют знака на [a,b], и
упомянутую выше теорему о среднем можно применять сразу на всём отрезке.
При наличии же квадратурных узлов внутри отрезка функция ωn+1 при переходе
x через такой узел меняет знак на противоположный; в этом случае приходится
предварительно разбивать отрезок [a,b] на подотрезки знакопостоянства ωn+1 ,
и применять эту теорему отдельно на каждом таком подотрезке.
     Например, для формулы центрального прямоугольника ( см. (1.14), третья
строка ) функция ω1 (x)=(x-(a+b)/2) сохраняет знак на отрезках [a,(a+b)/2],
[(a+b)/2, b], и потому для погрешности такой формулы будем иметь:

                   b                                  ( a +b ) / 2
                                 a +b                                                 a +b
     R0 ( f ) =∫f ′( ξ( x ))( x −     )dx =                ∫         f ′( ξ( x ))( x −     )dx +
                                   2                                                    2
                   a                                       a
            b                                                         ( a +b ) / 2
                                        a +b                                            a +b
     +      ∫          f ′( ξ( x ))( x −     )dx = f ′( ξ( x∗))            ∫         (x−     )dx +
                                          2                                               2
       ( a +b ) / 2                                                        a
                              b
                   ∗∗                      a +b      1
     + f ′( ξ( x        ))    ∫         (x−
                                             2
                                                )dx = ( b −a )2 ( f ( ξ1 ) − f ( ξ2 )) .
                                                     8
                         ( a +b ) / 2

     Здесь
                                        ξ1 =ξ( x∗) ,ξ2 =ξ( x∗∗)

- некоторые точки отрезка [a,b] ( покажите, что ξ1 принадлежит левой
половине этого отрезка, а ξ2 – правой ).
     Применение этой формулы к отрезку [xi , xi+1 ] приводит к следующему
представлению погрешности локально интерполяционной формулы центральных
прямоугольников:
                                 N −1
                            1
             R0N (     f ) = h{ h ∑ ( f ′( ξi ,1 ) − f ′( ξi ,2 )) } , ξ1,i , ξ2 ,i ∈[ xi , xi +1 ] ;
                            8     i =0

отсюда, поскольку в силу равномерной на отрезке [a,b] непрерывности
производной f ′ функции f класса C 1[a,b] разности f ′( ξ i,1 ) – f ′( ξ i,2 )
стремятся равномерно по i к нулю при h → 0 , вытекает, что для функций
указанного класса погрешность есть величина порядка o(h) , т.е. имеет более
высокий порядок малости, чем погрешность формулы левых прямоугольников.
      Если дополнительно предположить, что функция f обладает и второй
производной, непрерывной на отрезке [a,b] , то можно доказать равенство