Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 27 стр.

                                               27
          Итак, имеют место формулы с остаточными членами:

  b
                         f ( a ) +f (b ) 1
  ∫f ( x )dx =( b −a )           2
                                        − f ′′( ξ )( b −a )3
                                         12
                                                                     , ξ ∈[ a ,b ]   , ( 4.13 )
  a


      b                              N −1
                  b −a
      ∫f ( x )dx = 2 N ( f ( x0 ) +2 ∑ f ( xi ) + f ( x N ) ) +ch +o( h ) .
                                                                 2     2
                                                                                        ( 4.14 )
      a                              i =0

      Здесь c – константа из (4.12).
      Выделение главных членов погрешности локально интерполяционных
квадратурных формул левых прямоугольников и трапеций проведено нами для
того, чтобы применительно к эти формулам обосновать широко используемый
приём – правило Рунге практической оценки погрешности.
      Именно, пусть приближённое значение интеграла вычислено по формуле
левых прямоугольников дважды: один раз с шагом h ( c числом частичных
отрезков разбиения N ), а другой раз – с шагом h/2 ( т.е. с числом отрезков 2N ).
Обозначим точное значение интеграла, как обычно, через I(f), приближённые
значения - соответственно через I0 N ( f ), I0 2N ( f ) , и запишем равенства (4.9)
для этих двух случаев в виде:

                           I ( f ) =I 0N ( f ) +ch +o( h )       ,                      ( 4.15 )
                                                      h
                           I ( f ) =I 02 N ( f ) +c     +o1( h ) ,                      ( 4.16 )
                                                      2

обозначив величину o ( h/2) символом o1 ( h ), поскольку деление на константу
не меняет порядок бесконечно малой.
      Уравнения (4.15), (4.16) будем рассматривать как систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных I ( f ), ch/2. Находя отсюда
ch/2 ( для этого достаточно вычесть уравнение (4.16) из уравнения (4.15) и
разрешить относительно ch/2 полученное равенство ) и подставляя результат

                               h
                              c =I 02 N ( f ) −I 0N ( f ) +o2 ( h )                     ( 4.17 )
                               2

в (4.16) , будем иметь:

                    I ( f ) −I 02 N ( f ) =I 02 N ( f ) −I 0N ( f ) +o2 ( h ) ;

отбрасывание здесь бесконечно малой                   o2 ( h )    и переход к абсолютным
величинам даёт соотношение