Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

25
Далее, используя тождество
получим:
Множитель в фигурных скобках есть локально интерполяционная
квадратурная сумма левых прямоугольников для непрерывной функции f
′ .
Записывая для этой функции соотношение (4.4) , выражая из него указанную
квадратурную сумму и подставляя результат в (4.5), получим для первого
слагаемого в правой части равенства (4.5) представление
где символом c обозначена независящая от h постоянная
а символом o(h) – бесконечно малая (-(1/2)⋅ o(1)⋅ h). Что же касается второго
слагаемого, то оценивая разности f ′ ( ξ
i
) – f ′ ( x
i
) подобно тому, как ранее
были оценены разности f ( x ) – f ( x
i
) , и проводя очевидные преобразования,
приходим к выводу, что оно имеет более высокий, чем h , порядок малости :
Соотношения (4.5), (4.6), (4.8) позволяют придать формуле (4.4) вид
.]x,x[,)(f
2
h
)(f
2
)xx(
)f(R
1iii
1N
0
i
i
2
1N
0
i
i
2
i1i
N
0 +
−
=
−
=
+
∈
′
=
′
⋅
−
=
∑∑
ξξξ
,))x(f)(f()x(f)(f
i
i
i
i
′
−
′
+
′
=
′
ξ
ξ
)5.4(.]x,x[,)))x(f)(f(h(
2
h
})x(fh{
2
h
)f(R
1iii
1N
0
i
ii
1N
0
i
i
N
0 +
−
=
−
=
∈
′
−
′
+
′
=
∑∑
ξξ
∑
−
=
+⋅=
′
1N
0
i
i
)6.4(,)h(ohc)}x(fh{
2
h
)7.4(,dx)x(f
2
1
b
a
∫
′
)8.4(.)h(o)))x(f)(f(h(
2
h
1N
0
i
ii
=
′
−
′
∑
−
=
ξ
                                                    25

                N −1
                   ( xi +1 −xi )2               h 2 N −1
  R0N (   f )=∑                   ⋅ f ′( ξi ) =     ∑ f ′( ξi ) ,            ξi ∈[ xi , xi +1 ] .
              i =0        2                      2  i =0



Далее, используя тождество

                                  f ′( ξi ) = f ′( xi ) +( f ′( ξi ) − f ′( xi )) ,

получим:


              h N −1             h N −1
 R0N (   f ) = { h ∑ f ( xi ) } + ( h ∑ ( f ′( ξi ) − f ′( xi )) ) , ξi ∈[ xi , xi +1 ] . ( 4.5 )
                        ′
              2    i =0          2    i =0



      Множитель в фигурных скобках есть локально интерполяционная
квадратурная сумма левых прямоугольников для непрерывной функции f ′ .
Записывая для этой функции соотношение (4.4) , выражая из него указанную
квадратурную сумму и подставляя результат в (4.5), получим для первого
слагаемого в правой части равенства (4.5) представление
                                      N −1
                                h
                                  { h ∑ f ′( xi )} =c ⋅ h +o( h ) ,                         ( 4.6 )
                                2     i =0

где символом c обозначена независящая от h постоянная
                                                b
                                            1
                                            2   ∫f ′( x )dx    ,                            ( 4.7 )
                                                a

а символом o(h) – бесконечно малая (-(1/2)⋅ o(1)⋅ h). Что же касается второго
слагаемого, то оценивая разности f ′ ( ξ i ) – f ′ ( xi ) подобно тому, как ранее
были оценены разности f ( x ) – f ( xi ) , и проводя очевидные преобразования,
приходим к выводу, что оно имеет более высокий, чем h , порядок малости:

                             h N −1
                              ( h ∑ ( f ′( ξi ) − f ′( xi )) ) =o( h ) .                    ( 4.8 )
                             2 i =0

         Соотношения (4.5), (4.6), (4.8) позволяют придать формуле (4.4) вид

Страницы