Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
Полученное выражение представляет собой интеграл от произведения двух
непрерывных на [a,b]функций (см. упражнение 5), вторая из которых g(x)=(x –
- a) не меняет знака на промежутке [a,b]. А в таком случае применима
обобщённая теорема о среднем из математического анализа, которая гласит, что
такой интеграл равен произведению значения первой функции в некоторой точке
отрезка [a,b] на интеграл от второй функции:
Отсюда после простых вычислений получаем :
Следовательно , для любой непрерывно дифференцируемой на [a,b]
функции f верно соотношение:
Это – интерполяционная квадратурная формула левого прямоугольника с
остаточным членом.
Рассмотрим теперь локально интерполяционную квадратурную формулу
левых прямоугольников:
Эта формула получена заменой функции f на частичном отрезке разбиения
[x
i
,x
i+1
] многочленом нулевой степени – константой f(x
i
). Поэтому погрешность
имеет здесь вид:
.]b,a[)x(,dx)ax())x((f)f(R
b
a
0
∈=−⋅
′
=
∗∗
∫
ξξξ
)1.4(.]b,a[,
2
)ab(
)(f)f(R
2
0
∈
−
⋅
′
= ξξ
)2.4(.)x(fhdx)x(f
1N
0i
i
b
a
∑
∫
−
=
⋅≈
.]b,a[,
2
)ab(
)(f)a(f)ab(dx)x(f
2
b
a
∈
−
⋅
′
+−=
∫
ξξ
                                              23


Полученное выражение представляет собой интеграл от произведения двух
непрерывных на [a,b] функций (см. упражнение 5), вторая из которых g(x)=(x –
- a) не меняет знака на промежутке [a,b]. А в таком случае применима
обобщённая теорема о среднем из математического анализа, которая гласит, что
такой интеграл равен произведению значения первой функции в некоторой точке
отрезка [a,b] на интеграл от второй функции:

                               b
                         ∗
       R0 ( f ) = f ′( ξ( x )) ⋅ ∫( x −a )dx ,              ξ( x ∗) =ξ ∈[ a ,b ] .
                               a

Отсюда после простых вычислений получаем:

                                                   ( b −a )2
                           R0 ( f ) = f ′( ξ ) ⋅                 ,           ξ ∈[ a , b ] .     ( 4.1 )
                                                       2

     Следовательно, для любой непрерывно дифференцируемой на                                    [a,b]
функции f верно соотношение:

          b
                                                       ( b −a )2
          ∫f ( x )dx =( b −a ) f ( a ) + f ′( ξ ) ⋅        2
                                                                         ,      ξ ∈[ a ,b ] .
          a

      Это – интерполяционная квадратурная формула левого прямоугольника с
остаточным членом.
      Рассмотрим теперь локально интерполяционную квадратурную формулу
левых прямоугольников:
                               b                    N −1
                               ∫f ( x )dx ≈h ⋅       ∑ f ( xi )      .                          ( 4.2 )
                               a                     i =0

Эта формула получена заменой функции f на частичном отрезке разбиения
[xi ,xi+1 ] многочленом нулевой степени – константой f(xi ). Поэтому погрешность
имеет здесь вид:

Страницы