ВУЗ:
Составители:
23
Полученное выражение представляет собой интеграл от произведения двух
непрерывных на [a,b]функций (см. упражнение 5), вторая из которых g(x)=(x –
- a) не меняет знака на промежутке [a,b]. А в таком случае применима
обобщённая теорема о среднем из математического анализа, которая гласит, что
такой интеграл равен произведению значения первой функции в некоторой точке
отрезка [a,b] на интеграл от второй функции:
Отсюда после простых вычислений получаем :
Следовательно , для любой непрерывно дифференцируемой на [a,b]
функции f верно соотношение:
Это – интерполяционная квадратурная формула левого прямоугольника с
остаточным членом.
Рассмотрим теперь локально интерполяционную квадратурную формулу
левых прямоугольников:
Эта формула получена заменой функции f на частичном отрезке разбиения
[x
i
,x
i+1
] многочленом нулевой степени – константой f(x
i
). Поэтому погрешность
имеет здесь вид:
.]b,a[)x(,dx)ax())x((f)f(R
b
a
0
∈=−⋅
′
=
∗∗
∫
ξξξ
)1.4(.]b,a[,
2
)ab(
)(f)f(R
2
0
∈
−
⋅
′
= ξξ
)2.4(.)x(fhdx)x(f
1N
0i
i
b
a
∑
∫
−
=
⋅≈
.]b,a[,
2
)ab(
)(f)a(f)ab(dx)x(f
2
b
a
∈
−
⋅
′
+−=
∫
ξξ
23 Полученное выражение представляет собой интеграл от произведения двух непрерывных на [a,b] функций (см. упражнение 5), вторая из которых g(x)=(x – - a) не меняет знака на промежутке [a,b]. А в таком случае применима обобщённая теорема о среднем из математического анализа, которая гласит, что такой интеграл равен произведению значения первой функции в некоторой точке отрезка [a,b] на интеграл от второй функции: b ∗ R0 ( f ) = f ′( ξ( x )) ⋅ ∫( x −a )dx , ξ( x ∗) =ξ ∈[ a ,b ] . a Отсюда после простых вычислений получаем: ( b −a )2 R0 ( f ) = f ′( ξ ) ⋅ , ξ ∈[ a , b ] . ( 4.1 ) 2 Следовательно, для любой непрерывно дифференцируемой на [a,b] функции f верно соотношение: b ( b −a )2 ∫f ( x )dx =( b −a ) f ( a ) + f ′( ξ ) ⋅ 2 , ξ ∈[ a ,b ] . a Это – интерполяционная квадратурная формула левого прямоугольника с остаточным членом. Рассмотрим теперь локально интерполяционную квадратурную формулу левых прямоугольников: b N −1 ∫f ( x )dx ≈h ⋅ ∑ f ( xi ) . ( 4.2 ) a i =0 Эта формула получена заменой функции f на частичном отрезке разбиения [xi ,xi+1 ] многочленом нулевой степени – константой f(xi ). Поэтому погрешность имеет здесь вид:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »