Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

21
В теории ортогональных многочленов установлено , что все корни этого
многочлена вещественны , различны и принадлежат отрезку [-1,1] ; эти корни и
отвечающие им как узлам интерполяции квадратурные коэффициенты вычислены
с большой точностью и приводятся в таблицах.
В случае отрезка [a,b], отличного от стандартного отрезка [-1,1], для
нахождения квадратурных узлов используется линейная замена, переводящая
отрезок [-1,1] на отрезок [a,b].
Итак , вопрос о построении интерполяционной квадратурной формулы
алгебраического порядка точности 2n+1 с числом узлов, равным n+1, в
принципе решён. Спрашивается, существуют ли при том же количестве узлов
интерполяционные квадратурные формулы более высокого алгебраического
порядка точности ? Ответ на этот вопрос – отрицательный.
Лемма 3.3. Интерполяционная квадратурная формула с числом узлов,
равным n+1, не может быть точной для всех многочленов степени 2n+2.
Доказательство . Выберем в качестве f многочлен степени 2n+2 :
f(x) = ( ω
n+1
(x) )
2
= ( x – x
0
)
2
( x – x
1
)
2
... ( x – x
n
)
2
.
Так как этот многочлен неотрицательный и ненулевой, правая часть равенства
(3.7) для него строго больше нуля. А так как в узлах x
k
он обращается в нуль,
левая часть равенства для него равна нулю . Следовательно , равенство (3.7) для
этого многочлена не может иметь места .
Замечание 3.4. Ввиду установленного только что факта формулы Гаусса
называют также интерполяционными квадратурными формулами наивысшего
алгебраического порядка точности .
Отметим важное свойство формул Гаусса.
Лемма 3.5. Квадратурные коэффициенты A
k
в формулах Гаусса
положительны .
Доказательство . Выберем фиксированное k
∗
и рассмотрим многочлен
Поскольку степень этого многочлена, равная числу 2n, не превосходит 2n+1,
для него справедливо равенство (3.7); при этом, поскольку указанный многочлен
обращается в нуль во всех узлах, кроме узла с номером k
∗
, это равенство
принимает вид:
Нужный результат вытекает теперь из положительности интеграла слева и
положительности значения f в узле с номером k
∗
.
.))xx(()x(f
n
kj
0j
2
j
∏
∗
≠
=
−=
.
A
)
x
(
f
dx
)
x
(
f
k
k
b
∗
∗
=
                                               21


В теории ортогональных многочленов установлено, что все корни этого
многочлена вещественны, различны и принадлежат отрезку [-1,1] ; эти корни и
отвечающие им как узлам интерполяции квадратурные коэффициенты вычислены
с большой точностью и приводятся в таблицах.
      В случае отрезка [a,b], отличного от стандартного отрезка [-1,1], для
нахождения квадратурных узлов используется линейная замена, переводящая
отрезок [-1,1] на отрезок [a,b].
      Итак, вопрос о построении интерполяционной квадратурной формулы
алгебраического порядка точности 2n+1 с числом узлов, равным n+1, в
принципе решён. Спрашивается, существуют ли при том же количестве узлов
интерполяционные квадратурные формулы более высокого алгебраического
порядка точности? Ответ на этот вопрос – отрицательный.
      Лемма 3.3. Интерполяционная квадратурная формула с числом узлов,
равным n+1, не может быть точной для всех многочленов степени 2n+2.
      Доказательство. Выберем в качестве f многочлен степени 2n+2 :

              f(x) = ( ωn+1 (x) )2 = ( x – x0 )2( x – x1 )2 ... ( x – xn )2.

Так как этот многочлен неотрицательный и ненулевой, правая часть равенства
(3.7) для него строго больше нуля. А так как в узлах xk он обращается в нуль,
левая часть равенства для него равна нулю. Следовательно, равенство (3.7) для
этого многочлена не может иметь места.
      Замечание 3.4. Ввиду установленного только что факта формулы Гаусса
называют также интерполяционными квадратурными формулами наивысшего
алгебраического порядка точности.
      Отметим важное свойство формул Гаусса.
      Лемма 3.5. Квадратурные коэффициенты A k            в формулах Гаусса
положительны.
      Доказательство. Выберем фиксированное k ∗ и рассмотрим многочлен

                                           n
                             f ( x ) =(   ∏ ( x −x j )2 )   .
                                          j =0
                                          j ≠k ∗

Поскольку степень этого многочлена, равная числу 2n, не превосходит 2n+1,
для него справедливо равенство (3.7); при этом, поскольку указанный многочлен
                                                              ∗
обращается в нуль во всех узлах, кроме узла с номером k , это равенство
принимает вид:

Нужный результат вытекает теперь из положительности интеграла слева и
положительности значения f в узле с номером k ∗.

                            b
                            ∫f ( x )dx = f ( xk ∗ ) Ak ∗    .

Страницы