Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 22 стр.

                                                22
     Положительность квадратурных коэффициентов позволяет установить
сходимость квадратурного процесса Гаусса на классе непрерывных функций.
     Теорема 3.6. Для любой непрерывной на отрезке [a,b] функции значение
интерполяционной квадратурной суммы Гаусса сходится при n → ∞ к точному
значению интеграла.
     Доказательство. Рассмотрим функцию f(x) ≡1. При любом n = 0, 1, ... эта
функция принадлежит классу многочленов степени ≤ 2n+1, поэтому в случае
квадратурной формулы Гаусса при любом n справедлива формула (3.7),
принимающая для этой функции вид:
                                                     n
                                    b −a = ∑ Ak( n )           .
                                                 k =0

Переписывая с учётом            положительности              квадратурных   коэффициентов
последнее равенство в виде

                                          n
                              b −a = ∑ Ak( n )           ,
                                         k =0

приходим к выводу, что условие (1.22) теоремы 1.5 выполнено; доказываемый
результат о сходимости и вытекает из этой теоремы.
      Установленный только что факт сходимости квадратурных сумм Гаусса
при неограниченном увеличении числа квадратурных узлов объясняет, почему
квадратурные суммы Гаусса ( в отличие от квадратурных сумм Ньютона-Котеса )
широко используются не только в локально интерполяционном варианте с
малыми n, но и в глобально интерполяционном варианте с большими n.


     40. Остаточные члены квадратурных формул.


      Формулы (2.15 ) характеризуют быстроту убывания погрешности локально
интерполяционной квадратурной суммы при увеличении числа N частичных
отрезков разбиения (или, что то же самое, при уменьшении длины h этих
отрезков ). Однако они не дают возможности реально оценить погрешность при
заданных значениях h. Для этого нужны более детальные представления
погрешности.
      Проиллюстрируем вывод таких представлений на примере формулы левого
прямоугольника ( см. (1.14) и Рис. 1.3. ).
      Пусть подинтегральная функция f принадлежит классу C 1[a,b].
      Полагая в равенстве (1.17) n=0 и учитывая, что для этой квадратурной
формулы единственный квадратурный узел x0 совпадает с левым концом отрезка
[a,b], приходим к следующему выражению для погрешности:
            b
  R0 ( f ) =∫f ′( ξ( x )) ( x −a )dx ,          ξ( x ) ∈[ a , b ] для любого   x ∈[ a , b ].