Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 20 стр.

                                                   20
b           b                            b                     b                            n
∫f ( x )dx =∫α( x )ωn +1( x ) dx +∫pn ( x; f )dx =∫α( x )ωn +1( x )dx + ∑ f ( xk ) Ak .
a           a                            a                     a                         k =0

Таким образом, любого многочлена f
                    b                b                              n
                    ∫f ( x )dx =∫α( x )ωn +1( x )dx +∑ f ( xk ) Ak                   .            ( 3.6 )
                    a                a                             k =1


     Для многочлена f степени ≤2n+1 степень его частного α при делении
на многочлен ω n степени n+1 не превосходит числа (2n+1) – (n+1)=n;
поэтому, если условие (3.5) выполнено, то первое слагаемое в правой части
формулы (3.6) равно нулю, и имеет место равенство
                                     b                   n
                                     ∫f ( x )dx = ∑ f ( xk ) Ak             .                      ( 3.7 )
                                     a                  k =0

Таким образом, условие (3.5) обеспечивает интерполяционной квадратурной
формуле алгебраический порядок точности, равный 2n+1.
     Наоборот, пусть для всех многочленов f степени ≤ 2n+1 выполнено
условие (3.7). Тогда в силу (3.6) частные α от деления таких многочленов на
ωn+1 будут удовлетворять условию

                                b
                                ∫α( x )ωn +1( x ) dx =0                 .
                                a

Если заставить многочлен f пробежать всё указанное множество многочленов, то
отвечающее ему частное α покроет, очевидно, множество всех многочленов
степени ≤n. Следовательно, будет выполнено и условие (3.5).
      Доказанная теорема сводит вопрос о построении квадратурной формулы
алгебраического порядка точности 2n+1 с числом узлов, равным n+1, к
вопросу о нахождении многочлена степени n+1, ортогонального на [a,b]
любому многочлену меньшей степени; корни такого многочлена и дают нужные
квадратурные узлы.
      В случае отрезка [-1,1] многочленом степени m , ортогональным всем
многочленам меньшей степени, является многочлен Лежандра, заданный
формулой:


                                1            dm
                 X m( x ) =          m        m
                                                  {( x 2 −1 )m } ,          m =1, 2 , ...       . ( 3.8 )
                              m! 2       dx