Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
в формуле (3.4) x=x
k
. Так как при этом многочлен ω
n+1
обратится в
ноль, получим: f(x
k
)=β(x
k
). Итак , многочлен β имеет степень ≤ n и принимает
в узлах те же значения что и исходный многочлен f; следовательно , он является
интерполяционным многочленом для f : β = p
n
( f ).
Напомним, что скалярным произведением m – мерных векторов v={v
i
},
w={w
i
} называют сумму
а под ортогональностью этих векторов понимают обращение этой суммы в ноль:
Если же v,w - непрерывные на отрезке [a,b] функции, то роль их координат
играют значения v(x), w(x) этих функций в точках отрезка, роль суммы –
интеграл по отрезку, а условие ортогональности принимает вид:
Теорема 3.2. Для того, чтобы интерполяционная квадратурная формула с
узлами (3.1) была точна для всех многочленов f степени ≤ 2n+1, необходимо
и достаточно , чтобы порождённый этими узлами многочлен (3.3) был
ортогонален любому многочлену степени ≤ n :
Доказательство . Используя (3.4), получим равенство
или в силу леммы 3.1 и определения квадратурной суммы как определённого
интеграла от интерполяционного многочлена, равенство
,wvw,v
m
1
i
ii
∑
=
⋅=><
.0wv
m
1
i
ii
=⋅
∑
=
.0dx)x(w)x(v
b
a
=
∫
)5.3(.nстепениvмногочленалюбогодля0dx)x()x(v
b
a
1n
≤=
∫
+
ω
,dx)x(dx)x()x(dx)x(f
b
a
b
a
1n
b
a
∫∫∫
+=
+
βωα
                                             19
в формуле (3.4) x=xk . Так как при этом многочлен ω n+1 обратится в
ноль, получим: f(xk )=β(xk ). Итак, многочлен β имеет степень ≤ n и принимает
в узлах те же значения что и исходный многочлен f; следовательно, он является
интерполяционным многочленом для f : β =pn ( f ).
      Напомним, что скалярным произведением m – мерных векторов v={vi},
w={wi } называют сумму
                                              m
                                  =∑ vi ⋅ wi             ,
                                             i =1

а под ортогональностью этих векторов понимают обращение этой суммы в ноль:

                                       m
                                      ∑ vi ⋅ wi =0   .
                                      i =1
Если же v,w - непрерывные на отрезке [a,b] функции, то роль их координат
играют значения v(x), w(x) этих функций в точках отрезка, роль суммы –
интеграл по отрезку, а условие ортогональности принимает вид:

                                  b
                                  ∫v( x ) w( x )dx =0        .
                                  a

     Теорема 3.2. Для того, чтобы интерполяционная квадратурная формула с
узлами (3.1) была точна для всех многочленов f степени ≤ 2n+1, необходимо
и достаточно, чтобы порождённый этими узлами многочлен (3.3)          был
ортогонален любому многочлену степени ≤ n :

     b
     ∫v( x )ωn +1( x )dx =0           для любого многочлена v степени ≤n . ( 3.5 )
     a

     Доказательство. Используя (3.4), получим равенство

               b              b                                  b
               ∫f ( x )dx =∫α( x )ωn +1( x )dx           +       ∫β( x ) dx   ,
               a              a                                  a

или в силу леммы 3.1 и определения квадратурной суммы как определённого
интеграла от интерполяционного многочлена, равенство

Страницы