Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
даёт в этом случае точное значение интеграла и от самой функции f :
Словами этот факт выражают, говоря , что интерполяционная квадратурная
формула с узлами (3.1)
точна для всех многочленов степени ≤ n , каким бы образом узлы (3.1) на
отрезке [a,b] ни выбирались, или что алгебраический порядок точности такой
формулы равен n.
Число узлов (3.1), являющихся параметрами квадратурной суммы, равно
n+1. Естественно попытаться за счёт выбора этих параметров повысить степень
многочленов, для которых формула (3.2) точна, на n+1 , т.е. сделать эту
квадратурную формулу точной для всех многочленов степени ≤ n+(n+1)=2n+1.
Квадратурные формулы такого типа называются формулами Гаусса.
Если функция f является многочленом и ставится задача о её приближении
интерполяционным многочленом ( меньшей степени ), вместо формул Лагранжа и
Ньютона можно воспользоваться следующим алгебраическим приёмом.
Именно , составим по узлам интерполяции (3.1) многочлен (n+1) – вой
степени
ω
n+1
(x) = (x – x
0
)(x – x
1
) ... (x – x
n
) (3.3)
и разделим исходный многочлен f на ω
n+1
:
f(x) = α (x)ω
n+1
(x) + β (x). (3.4)
Лемма 3.1. Остаток β от деления f на многочлен ω
n+1
совпадает с
интерполяционным многочленом p
n
(f).
Доказательство . Заметим, что так как степень остатка β строго меньше
степени n+1 делителя ω
n+1
, степень многочлена β не превышает n. Положим
,A)x(fdx)f;x(p
n
0k
kk
b
a
n
∑
∫
=
⋅=
.A)x(fdx)x(f
n
0k
kk
b
a
∑
∫
=
⋅=
)2.3(A)x(fdx)x(f
n
0k
kk
b
a
∑
∫
=
⋅≈
                                          18

                         b                     n
                         ∫pn ( x; f )dx = ∑ f ( xk ) ⋅ Ak        ,
                         a                 k =0

даёт в этом случае точное значение интеграла и от самой функции f :


                             b             n
                             ∫f ( x )dx = ∑ f ( xk ) ⋅ Ak    .
                             a            k =0


Словами этот факт выражают, говоря, что интерполяционная квадратурная
формула с узлами (3.1)

                b                n
                ∫f ( x )dx ≈ ∑ f ( xk ) ⋅ Ak                           ( 3.2 )
                a            k =0


точна для всех многочленов степени ≤ n , каким бы образом узлы (3.1) на
отрезке [a,b] ни выбирались, или что алгебраический порядок точности такой
формулы равен n.
      Число узлов (3.1), являющихся параметрами квадратурной суммы, равно
n+1. Естественно попытаться за счёт выбора этих параметров повысить степень
многочленов, для которых формула (3.2) точна, на n+1 , т.е. сделать эту
квадратурную формулу точной для всех многочленов степени ≤ n+(n+1)=2n+1.
Квадратурные формулы такого типа называются формулами Гаусса.
      Если функция f является многочленом и ставится задача о её приближении
интерполяционным многочленом ( меньшей степени ), вместо формул Лагранжа и
Ньютона можно воспользоваться следующим алгебраическим приёмом.
      Именно, составим по узлам интерполяции (3.1) многочлен (n+1) – вой
степени

                        ω n+1 (x) = (x – x0 )(x – x1 ) ... (x – xn )             (3.3)

и разделим исходный многочлен f на ωn+1 :

                          f(x) = α (x)ωn+1 (x) + β (x).                          (3.4)

     Лемма 3.1. Остаток β от деления f на многочлен ω n+1 совпадает с
интерполяционным многочленом p n (f).
     Доказательство. Заметим, что так как степень остатка β строго меньше
степени n+1 делителя ω n+1 , степень многочлена β не превышает n. Положим

Страницы