Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
Для оценки фигурирующих здесь абсолютных величин интегралов по частичным
отрезкам разбиения можно воспользоваться формулой (1.18), заменив в ней
отрезок [a,b] отрезком [x
i
,x
i+1
] :
Следовательно ,
Заменяя здесь максимум модуля (n+1) – вой производной на частичном отрезке
разбиения большей величиной – максимумом модуля на всём отрезке [a,b] и
подставляя вместо h его значение (2.1), получим
Отсюда окончательно приходим к оценке
из которой и следует утверждение теоремы.
Далее читатель для наглядности может считать , что концы частичных
отрезков разбиения являются узлами интерполяции на этих отрезках ( т.е. что t
0
=
0 , t
n
=1 ), поскольку при таком предположении локальный интерполянт функции
f , замена которым подынтегральной функции f и приводит к локально
интерполяционной квадратурной сумме, есть непрерывная на [a,b] функция.
Сформулированный ниже результат о сходимости , однако, как видно из
приведенного доказательства, верен и без этого предположения.
Теорема 2.2. При любом фиксированном n справедливо соотношение:
Доказательство . Предыдущая теорема означает, что функционал I
n
N
сходится при N → ∞ к функционалу I на любой (n+1) –раз непрерывно
дифференцируемой на отрезке [a,b] функции. Указанная совокупность функций
.h)x(fmax
)!1n(
1
dx)x(r
)2n()1n(
xxx
x
x
)i(
n
1ii
1i
i
++
≤≤
+
+
+
≤
∫
.)x(fmax
)!1n(
h
)f(R
1N
0
i
)1n(
xxx
)2n(
N
n
1ii
∑
−
=
+
≤≤
+
+
+
≤
.)x(fmaxN
N
ab
)!1n(
1
)f(R
)1n(
bxa
2n
N
n
+
≤≤
+
⋅⋅
−
⋅
+
≤
)15.2(,
N
1
)x(fmax
)!1n(
)ab(
)f(R
1n
)1n(
bxa
2n
N
n
+
+
≤≤
+
+
−
≤
)16.2(.]b,a[CfдляNпри)f(I)f(I
N
n
∈∀∞→→
                                                    16


Для оценки фигурирующих здесь абсолютных величин интегралов по частичным
отрезкам разбиения можно воспользоваться формулой (1.18), заменив в ней
отрезок [a,b] отрезком [xi ,xi+1 ] :
           xi +1
                                          1
                ∫rn
                      (i )
                             ( x )dx ≤                   max        f ( n +1 ) ( x ) h( n +2 ) .
                                      ( n +1 )!     xi ≤x ≤xi +1
                xi


Следовательно,

                                   h( n +2 ) N −1
                     RnN (    f) ≤           ∑       max      f ( n +1 ) ( x )         .
                                  ( n +1 )! i =0 xi ≤x ≤xi +1

Заменяя здесь максимум модуля (n+1) – вой производной на частичном отрезке
разбиения большей величиной – максимумом модуля на всём отрезке [a,b] и
подставляя вместо h его значение (2.1), получим

                                                      n +2
                                1        � b −a �
            RnN (       f) ≤          ⋅�          �          ⋅ N ⋅ max       f ( n +1 ) ( x )       .
                            ( n +1 )! � N �                        a ≤x ≤b

Отсюда окончательно приходим к оценке

                                 ( b −a )n +2                         1
                      RnN ( f ) ≤              max f ( n +1 ) ( x )                             ,       ( 2.15 )
                                   ( n +1 )! a ≤x ≤b                N n +1

из которой и следует утверждение теоремы.
       Далее читатель для наглядности может считать, что концы частичных
отрезков разбиения являются узлами интерполяции на этих отрезках ( т.е. что t0 =
0 , tn =1 ), поскольку при таком предположении локальный интерполянт функции
f , замена которым подынтегральной функции f и приводит к локально
интерполяционной квадратурной сумме, есть непрерывная на [a,b] функция.
Сформулированный ниже результат о сходимости, однако, как видно из
приведенного доказательства, верен и без этого предположения.
       Теорема 2.2. При любом фиксированном n справедливо соотношение:

 I nN ( f ) →        I( f )        при       N    →      ∞         для ∀ f ∈C [ a , b ] . ( 2.16 )

                                                                                                              N
     Доказательство. Предыдущая теорема означает, что функционал In
сходится при N → ∞ к функционалу I на любой (n+1) –раз непрерывно
дифференцируемой на отрезке [a,b] функции. Указанная совокупность функций

Страницы