ВУЗ:
Составители:
17
образует в пространстве C[a,b]
плотное множество , поскольку
содержит класс многочленов, а последний, как мы уже указывали, плотен в
C[a,b]. Следовательно , функционалы I
n
N
сходятся к функционалу I на плотном
в C[a,b] множестве.
Далее, рассуждения, аналогичные использованным в случае глобально
интерполяционного квадратурного процесса, позволяют вывести следующее
соотношение для нормы функционала I
n
N
:
Фигурирующая здесь сумма модулей заданных формулой (1.12) нормированных
квадратурных коэффициентов B
k
= B
k
(n)
, во -первых , не зависит от i, а потому
Во-вторых, при фиксированном n она представляет собой некоторую вполне
определённую константу . Поэтому представляет собой константу и норма
функционала I
n
N
.
Соотношение (2.16) следует теперь из теоремы Банаха - Штейнгауза.
Заметим, что при доказательстве соотношения (2.16) можно было бы не
ссылаться на теорему Банаха - Штейнгауза, поскольку она уже была использована
при доказательстве равномерной сходимости локального интерполянта функции
f к самой функции, а непосредственно воспользоваться этой сходимостью . Мы
избрали приведенную выше схему доказательства, чтобы выписать формулу
(2.17) для нормы функционала I
n
N
.
3
0
. Квадратурные формулы Гаусса.
Если подинтегральная функция f является многочленом степени ≤ n , то
её интерполяционный многочлен p
n
( f ) , построенный по набору из (n+1)-го
узла интерполяции
x
0
, x
1
, ... , x
n
, (3.1)
совпадает с ней самой: p
n
( f ) = f . Поэтому интерполяционная квадратурная
сумма (1.9), являющаяся определённым интегралом от интерполяционного
многочлена
.B
N
ab
I
1N
0
i
n
0
k
k
N
n
∑∑
−
==
−
=
)17.2(.B)ab(BN
N
ab
I
n
0
k
)n(
k
n
0
k
)n(
k
N
n
∑∑
==
⋅−=⋅⋅
−
=
17 образует в пространстве C[a,b] плотное множество, поскольку содержит класс многочленов, а последний, как мы уже указывали, плотен в N C[a,b]. Следовательно, функционалы In сходятся к функционалу I на плотном в C[a,b] множестве. Далее, рассуждения, аналогичные использованным в случае глобально интерполяционного квадратурного процесса, позволяют вывести следующее N соотношение для нормы функционала In : b −a N −1 n I nN = ∑ ∑ Bk N i =0 k =0 . Фигурирующая здесь сумма модулей заданных формулой (1.12) нормированных (n) квадратурных коэффициентов Bk = Bk , во-первых , не зависит от i, а потому n n b −a I nN = N ⋅ N ⋅ ∑ Bk( n ) = ( b −a ) ⋅ ∑ Bk( n ) . ( 2.17 ) k =0 k =0 Во-вторых, при фиксированном n она представляет собой некоторую вполне определённую константу. Поэтому представляет собой константу и норма N функционала In . Соотношение (2.16) следует теперь из теоремы Банаха-Штейнгауза. Заметим, что при доказательстве соотношения (2.16) можно было бы не ссылаться на теорему Банаха-Штейнгауза, поскольку она уже была использована при доказательстве равномерной сходимости локального интерполянта функции f к самой функции, а непосредственно воспользоваться этой сходимостью. Мы избрали приведенную выше схему доказательства, чтобы выписать формулу N (2.17) для нормы функционала In . 30. Квадратурные формулы Гаусса. Если подинтегральная функция f является многочленом степени ≤ n , то её интерполяционный многочлен pn ( f ) , построенный по набору из (n+1)-го узла интерполяции x0 , x1, ... , xn , (3.1) совпадает с ней самой: pn ( f ) = f . Поэтому интерполяционная квадратурная сумма (1.9), являющаяся определённым интегралом от интерполяционного многочлена
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »