Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 17 стр.

UptoLike

Составители: 

17
образует в пространстве C[a,b]
плотное множество , поскольку
содержит класс многочленов, а последний, как мы уже указывали, плотен в
C[a,b]. Следовательно , функционалы I
n
N
сходятся к функционалу I на плотном
в C[a,b] множестве.
Далее, рассуждения, аналогичные использованным в случае глобально
интерполяционного квадратурного процесса, позволяют вывести следующее
соотношение для нормы функционала I
n
N
:
Фигурирующая здесь сумма модулей заданных формулой (1.12) нормированных
квадратурных коэффициентов B
k
= B
k
(n)
, во -первых , не зависит от i, а потому
Во-вторых, при фиксированном n она представляет собой некоторую вполне
определённую константу . Поэтому представляет собой константу и норма
функционала I
n
N
.
Соотношение (2.16) следует теперь из теоремы Банаха - Штейнгауза.
Заметим, что при доказательстве соотношения (2.16) можно было бы не
ссылаться на теорему Банаха - Штейнгауза, поскольку она уже была использована
при доказательстве равномерной сходимости локального интерполянта функции
f к самой функции, а непосредственно воспользоваться этой сходимостью . Мы
избрали приведенную выше схему доказательства, чтобы выписать формулу
(2.17) для нормы функционала I
n
N
.
3
0
. Квадратурные формулы Гаусса.
Если подинтегральная функция f является многочленом степени n , то
её интерполяционный многочлен p
n
( f ) , построенный по набору из (n+1)-го
узла интерполяции
x
0
, x
1
, ... , x
n
, (3.1)
совпадает с ней самой: p
n
( f ) = f . Поэтому интерполяционная квадратурная
сумма (1.9), являющаяся определённым интегралом от интерполяционного
многочлена
.B
N
ab
I
1N
0
i
n
0
k
k
N
n
∑∑
==
=
)17.2(.B)ab(BN
N
ab
I
n
0
k
)n(
k
n
0
k
)n(
k
N
n
∑∑
==
=⋅⋅
=
                                         17
образует в пространстве        C[a,b] плотное     множество,    поскольку
содержит класс многочленов, а последний, как мы уже указывали, плотен в
                                     N
C[a,b]. Следовательно, функционалы In сходятся к функционалу I на плотном
в C[a,b] множестве.
     Далее, рассуждения, аналогичные использованным в случае глобально
интерполяционного квадратурного процесса, позволяют вывести следующее
                                     N
соотношение для нормы функционала In :

                                   b −a N −1 n
                          I nN =        ∑ ∑ Bk
                                     N i =0 k =0
                                                           .


Фигурирующая здесь сумма модулей заданных формулой (1.12) нормированных
                                  (n)
квадратурных коэффициентов Bk = Bk , во-первых , не зависит от i, а потому

                                  n                            n
                    b −a
           I nN =
                      N
                         ⋅ N ⋅   ∑      Bk( n ) = ( b −a ) ⋅ ∑ Bk( n )   .   ( 2.17 )
                                 k =0                      k =0



Во-вторых, при фиксированном n она представляет собой некоторую вполне
определённую константу. Поэтому представляет собой константу и норма
               N
функционала In .
      Соотношение (2.16) следует теперь из теоремы Банаха-Штейнгауза.
      Заметим, что при доказательстве соотношения (2.16) можно было бы не
ссылаться на теорему Банаха-Штейнгауза, поскольку она уже была использована
при доказательстве равномерной сходимости локального интерполянта функции
f к самой функции, а непосредственно воспользоваться этой сходимостью. Мы
избрали приведенную выше схему доказательства, чтобы выписать формулу
                                N
(2.17) для нормы функционала In .


     30. Квадратурные формулы Гаусса.


      Если подинтегральная функция f является многочленом степени ≤ n , то
её интерполяционный многочлен pn ( f ) , построенный по набору из (n+1)-го
узла интерполяции

                                   x0 , x1, ... , xn ,                         (3.1)

совпадает с ней самой: pn ( f ) = f . Поэтому интерполяционная квадратурная
сумма (1.9), являющаяся определённым интегралом от интерполяционного
многочлена