Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
Укажем самые употребительные локально интерполяционные
квадратурные формулы .
Формула центральных прямоугольников:
где символом x
i+1/2
обозначена середина отрезка [x
i
,x
i+1
].
Формула трапеций:
наличие здесь у величин f(x
i
) коэффициента 2 объясняется тем , что точка x
i
как узел интерполяции при 1≤ i ≤ Ν -1 входит в локально интерполяционную
квадратурную формулу дважды : первый раз как правый узел интерполяции на
частичном отрезке разбиения [ x
i-1
, x
i
] , а второй раз – как левый узел
интерполяции на соседнем отрезке [ x
i
, x
i+1
].
Формула парабол, или формула Симпсона :
коэффициент 2 при значениях f в узлах с целыми номерами возникает по той
же причине, что и формуле трапеций.
Исследуем теперь сходимость локально интерполяционного квадратурного
процесса.
Теорема 2.1. Для любой функции f∈ C
n+1
[a,b] значения локально
интерполяционной квадратурной суммы (2.10) сходятся при N → ∞ ( или, что
то же самое, при h → 0 ) к точному значению интеграла:
I
n
N
(f) → I(f) при N → ∞ ,
причём погрешность приближённого значения интеграла I
n
N
(f) имеет порядок
О ( 1/N
n+1
) ( или, что то же самое, порядок O( h
n+1
) ).
Доказательство . Из формулы (2.9) для погрешности приближённого
значения интеграла следует неравенство :
)12.2(,))x(f...)x(f)x(f(
N
ab
)x(f
N
ab
dx)x(f
2
1
2
3
2
1
2
1
N
1N
0i
i
b
a
−
−
=
+
+++
−
=
−
≈
∑
∫
)13.2(;))x(f)x(f2)x(f(
N2
ab
dx)x(f
N
1N
1i
i0
b
a
++
−
≈
∑
∫
−
=
)14.2(;))x(f...)x(f)x(f(4
))x(f...)x(f)x(f(2)b(f)a(f(
N6
ab
dx)x(f
2
1
2
3
2
1
N
1N21
b
a
−
−
++++
++++++
−
≈
∫
.dx)x(r)f(R
1N
0i
x
x
)i(
n
N
n
1i
i
∑
∫
−
=
+
≤
                                                            15
         Укажем самые употребительные локально                                                      интерполяционные
    квадратурные формулы.
         Формула центральных прямоугольников:

b                      N −1
            b −a                                  b −a
∫f ( x )dx ≈
              N
                          ∑          f ( xi +1 ) =
                                              2     N
                                                       ( f ( x 1 ) + f ( x 3 ) +... + f ( x N −1 )) , ( 2.12 )
                                                                            2                   2
a                         i =0                                  2


    где символом xi+1/2 обозначена середина отрезка [xi ,xi+1 ].
          Формула трапеций:
                            b                             N −1
                                        b −a
                            ∫f ( x )dx ≈ 2 N ( f ( x0 ) +2 ∑ f ( xi ) + f ( x N )) ;                          ( 2.13 )
                            a                              i =1
    наличие здесь у величин f(xi) коэффициента 2                                объясняется тем, что точка xi
    как узел интерполяции при 1≤ i ≤ Ν -1 входит                                в локально интерполяционную
    квадратурную формулу дважды: первый раз как                                 правый узел интерполяции на
    частичном отрезке разбиения [ xi-1 , xi ] , а                               второй раз – как левый узел
    интерполяции на соседнем отрезке [ xi , xi+1 ].
          Формула парабол, или формула Симпсона:

    b
                   b −a
    ∫f ( x )dx ≈ 6 N      ( f ( a ) + f ( b ) +2 ( f ( x1 ) + f ( x2 ) +... + f ( x N −1 )) +
    a
    +4 ( f ( x 1 ) + f ( x 3 ) +... + f ( x N −1 )) ;                                                         ( 2.14 )
               2                 2                      2


    коэффициент 2 при значениях f в узлах с целыми номерами возникает по той
    же причине, что и формуле трапеций.
          Исследуем теперь сходимость локально интерполяционного квадратурного
    процесса.
                                                    n+1
          Теорема 2.1. Для любой функции f∈ C          [a,b] значения локально
    интерполяционной квадратурной суммы (2.10) сходятся при N → ∞ ( или, что
    то же самое, при h → 0 ) к точному значению интеграла:

                                        InN(f) → I(f)            при         N→ ∞ ,

    причём погрешность приближённого значения интеграла InN (f) имеет порядок
           n+1                                   n+1
    О( 1/N ) ( или, что то же самое, порядок O( h ) ).
         Доказательство. Из формулы (2.9) для погрешности приближённого
    значения интеграла следует неравенство:

                                                            N −1       xi +1
                                              RnN (   f ) ≤∑            ∫rn
                                                                               (i )
                                                                                      ( x )dx   .
                                                            i =0        xi

Страницы