Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
Разобьём отрезок [a,b] на N равных частей длины
h=(b – a)/N (2.1)
точками
x
i
= a + ih , i = 0, 1, ... , N , (2.2)
и представим интеграл по отрезку [a,b] в виде суммы интегралов по частичным
отрезкам
Далее, зафиксируем натуральное n , выберем на отрезке [0,1] оси t
попарно различные точки
t
0
, t
1
, ... , t
k
, ... , t
n
(2.4)
и примем в качестве узлов интерполяции на частичном отрезке разбиения
[x
i
,x
i+1
] образы
x
0
(i)
, x
1
(i)
, ... , x
k
(i)
, ... , x
n
(i)
(2.5)
этих точек при линейном отображении
x
(i)
(t) = x
i
+ (x
i+1
- x
i
) t = x
i
+ h t ,
отрезка [0,1] на отрезок [x
i
, x
i+1
]. Представим функцию f на отрезке [x
i
,x
i+1
]
в виде
f(x) = p
n
(i)
(x) + r
n
(i)
(x) , x ∈ [x
i
, x
i+1
] , (2.6)
где p
n
(i)
– интерполяционный многочлен, построенный по значениям f в точках
(2.5), а r
n
(i)
– погрешность интерполяционного многочлена. Подстановка
выражения (2.6) в формулу (2.3) даёт для искомого интеграла представление в
виде суммы
)3.2(.dx)x(fdx)x(f)f(I
1N
0i
x
x
b
a
1i
i
∑
∫∫
−
=
+
==
∑∑
∫∫∫
−
=
−
=
++
+=
1N
0i
1N
0i
x
x
)i(
n
x
x
)i(
n
b
a
1i
i
1i
i
)7.2(,dx)x(rdx)x(pdx)x(f
                                                   13


     Разобьём отрезок [a,b] на N равных частей длины

                                                   h=(b – a)/N                              (2.1)
точками
                                 xi = a + ih ,                   i = 0, 1, ... , N ,        (2.2)

и представим интеграл по отрезку [a,b] в виде суммы интегралов по частичным
отрезкам

                                 b                      N −1 xi +1
                       I ( f ) =∫f ( x )dx = ∑                     ∫f ( x )dx   .          ( 2.3 )
                                 a                        i =0     xi


     Далее, зафиксируем натуральное n , выберем на отрезке [0,1]                           оси t
попарно различные точки

                                     t0 , t1 , ... , tk , ... , tn                          (2.4)

и примем в качестве узлов                   интерполяции на частичном отрезке разбиения
[xi ,xi+1 ] образы
                                (i)         (i)           (i)           (i)
                              x0 , x1 , ... , xk , ... , xn                                 (2.5)

этих точек при линейном отображении
                        (i)
                      x (t) = xi + (xi+1 - xi ) t = xi + h t ,

отрезка [0,1] на отрезок [xi , xi+1 ]. Представим функцию f на отрезке [xi ,xi+1]
в виде
                                      (i)           (i)
                       f(x) = pn (x) + rn (x) , x ∈ [xi , xi+1 ] ,                          (2.6)
      (i)
где pn – интерполяционный многочлен, построенный по значениям f в точках
           (i)
(2.5), а rn – погрешность интерполяционного многочлена. Подстановка
выражения (2.6) в формулу (2.3) даёт для искомого интеграла представление в
виде суммы

                b             N −1 xi +1                   N −1 xi +1
                ∫f ( x )dx = ∑ ∫                                   ∑ ∫
                                                (i )
                                               pn ( x )dx +         rn( i ) ( x )dx    ,   ( 2.7 )
                a             i =0          xi              i =0 xi

Страницы