Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 12 стр.

                                        12
произвольном элементе пространства C[a,b]. Согласно теореме Банаха-
Штейнгауза для такой сходимости необходимо и достаточно одновременное
выполнение двух условий:
      1. Сильная сходимость In к I на каком-либо подмножестве пространства
         C[a,b], плотном в этом пространстве.
      2. Равномерная по n ограниченность норм функционалов In .
      Рассмотрим подмножество пространства C[a,b] – совокупность всех
многочленов. Согласно теореме Вейерштрасса из математического анализа любая
непрерывная на отрезке [a,b] функция может быть с любой точностью ( в
метрике пространства C[a,b] ) приближена многочленом, а это и означает
плотность множества многочленов в пространстве C[a,b]. С другой стороны,
поскольку для многочлена f степени m при n ≥ m интерполяционные
многочлены pn (f) совпадают с самим многочленом f , при этих              n
интерполяционная квадратурная формула даёт точное значение интеграла. По
этой причине для любого многочлена f величины In ( f ) сходятся при n → ∞ к
величине I ( f ), и первое из перечисленных выше условий теоремы Банаха-
Штейнгауза оказывается выполненым.
      Что же касается второго условия, то в силу (1.21) оно в точности
совпадает с условием (1.22) ; последнее условие, таким образом, и есть
необходимое и достаточное условие сходимости глобально-интерполяционного
квадратурного процесса на классе C[a,b].
      Замечание 1.6. На практике           часто встречается случай, когда
подинтегральная функция задаётся таблицей своих значений в равноотстоящих
узлах

             xi( n ) =a +ih , i =0 , 1, ... , n , h =( b −a ) / n ;

интерполяционные квадратурные формулы с таким способом задания узлов
называют формулами Ньютона-Котеса. Примером такой формулы служит
формула Симпсона (1.16) , отвечающая случаю n=2 ; достаточно часто
используется также формула «трёх восьмых», отвечающая n=3. Формулы
Ньютона-Котеса с большими значениями n не применяются, поскольку этот
квадратурный процесс не удовлетворяет условию сходимости       (1.22) : в
                                                (n)
двумерном массиве квадратурных коэффициентов Ak     по мере увеличения n
начинают встречаться коэффициенты со сколь угодно большими модулями.
Повышение точности вычисления интеграла в случае равноотстоящих узлов
достигается не за счёт использования глобальных интерполянтов с высокой
степенью n , а за счёт применения локальной интерполяции с малым n и
большим числом частичных отрезков разбиения.


     20. Локально-интерполяционные квадратурные формулы.