ВУЗ:
Составители:
10
Для того, чтобы соотношение (1.19) имело место , квадратурные коэффициенты ,
а они , как отмечено выше, определяются исключительно способом задания
квадратурных узлов, должны удовлетворять некоторому условию ; это условие мы
сейчас и сформулируем .
Заметим,что выражение (1.1) можно рассматривать как значение на
элементе f∈ C[a,b] оператора I, сопоставляющего функции f значение
определённого интеграла от этой функции по отрезку [a,b]. В силу известных
свойств определённого интеграла ( интеграл от суммы двух функций равен сумме
интегралов от слагаемых, постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла ) этот оператор – линейный. Аналогично , является линейным и
оператор I
n
, сопоставляющий функции f значение квадратурной суммы (1.9).
Напомним, что операторы , областью значений которых является
пространство вещественных чисел R , называются функционалами, так что I ,I
n
-
линейные функционалы на пространстве непрерывных функций C[a,b].
Поскольку нормой вещественного числа как элемента пространства R
является его абсолютная величина, для функционалов I , I
n
справедливы
неравенства
Из этих неравенств следует, что I , I
n
– ограниченные функционалы , причём
,ab)ab(sup
)x(fmax
dx)x(fmax
sup
)x(fmax
dx)x(fmax
sup
)x(fmax
dx)x(f
sup
)x(fmax
dx)x(f
sup
f
)f(I
supI
f
bxa
b
a
bxa
f
bxa
b
a
bxa
f
bxa
b
a
f
bxa
b
a
f
]b,a[C
]b,a[Cf
−=−=
⋅
=
≤≤==
≤≤
≤≤
≤≤
≤≤
≤≤≤≤
∈
∫∫
∫
∫
.A)A(sup
)x(fmax
A)x(fmax
sup
)x(fmax
A)x(f
sup
)x(fmax
A)x(f
sup
f
)f(I
supI
n
0k
)n(
k
)n(
k
n
0k
f
bxa
n
0k
)n(
k
bxa
f
bxa
n
0k
)n(
k
)n(
k
f
bxa
n
0k
)n(
k
)n(
k
f
n
f
n
∑∑
∑
∑
∑
==
≤≤
=
≤≤
≤≤
=
≤≤
=
==
⋅
≤
⋅
≤
⋅
==
)20.1(.AI,abI
n
0k
)n(
k
n
∑
=
≤−≤
10 Для того, чтобы соотношение (1.19) имело место, квадратурные коэффициенты, а они , как отмечено выше, определяются исключительно способом задания квадратурных узлов, должны удовлетворять некоторому условию; это условие мы сейчас и сформулируем. Заметим,что выражение (1.1) можно рассматривать как значение на элементе f∈ C[a,b] оператора I, сопоставляющего функции f значение определённого интеграла от этой функции по отрезку [a,b]. В силу известных свойств определённого интеграла ( интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от слагаемых, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла ) этот оператор – линейный. Аналогично, является линейным и оператор In , сопоставляющий функции f значение квадратурной суммы (1.9). Напомним, что операторы, областью значений которых является пространство вещественных чисел R , называются функционалами, так что I ,In - линейные функционалы на пространстве непрерывных функций C[a,b]. Поскольку нормой вещественного числа как элемента пространства R является его абсолютная величина, для функционалов I , In справедливы неравенства b b I( f ) ∫f ( x )dx ∫ f ( x ) dx I = sup =sup a ≤sup a ≤ f ∈C [ a ,b ] f C [ a ,b ] f max f(x) f max f(x) a ≤x ≤b a ≤x ≤b b b ∫amax ≤x ≤b f ( x ) dx max a ≤x ≤b f ( x ) ⋅ ∫dx sup a =sup a =sup ( b −a ) =b −a , f max f(x) f max f(x) f a ≤x ≤b a ≤x ≤b n n In ( f ) ∑ f ( xk( n ) ) ⋅ Ak( n ) ∑ f ( xk( n ) ) ⋅ Ak( n ) k =0 k =0 I n =sup =sup ≤sup ≤ f f f max f(x) f max f(x) a ≤x ≤b a ≤x ≤b n max a ≤x ≤b f(x) ⋅ ∑ Ak( n ) n n k =0 sup max f(x) =sup ( ∑ Ak( n ) ) = ∑ Ak( n ) . f f k =0 k =0 a ≤x ≤b Из этих неравенств следует, что I , In – ограниченные функционалы, причём n I ≤b −a , I n ≤ ∑ Ak( n ) . ( 1.20 ) k =0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »