Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 10 стр.

                                                                  10


Для того, чтобы соотношение (1.19) имело место, квадратурные коэффициенты,
а они , как отмечено выше, определяются исключительно способом задания
квадратурных узлов, должны удовлетворять некоторому условию; это условие мы
сейчас и сформулируем.
      Заметим,что выражение (1.1) можно рассматривать как значение на
элементе f∈ C[a,b] оператора I, сопоставляющего функции f значение
определённого интеграла от этой функции по отрезку [a,b]. В силу известных
свойств определённого интеграла ( интеграл от суммы двух функций равен сумме
интегралов от слагаемых, постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла ) этот оператор – линейный. Аналогично, является линейным и
оператор In , сопоставляющий функции f значение квадратурной суммы (1.9).
      Напомним, что операторы, областью значений которых является
пространство вещественных чисел R , называются функционалами, так что I ,In -
линейные функционалы на пространстве непрерывных функций C[a,b].
      Поскольку нормой вещественного числа как элемента пространства R
является его абсолютная величина, для функционалов I , In справедливы
неравенства

                                                                       b                                     b

                                   I( f )
                                                                       ∫f ( x )dx                            ∫     f ( x ) dx
        I =            sup                     =sup a                                ≤sup a                                      ≤
                 f ∈C [ a ,b ]    f C [ a ,b ]   f  max                         f(x)   f  max                            f(x)
                                                                 a ≤x ≤b                                    a ≤x ≤b
             b                                                                     b
             ∫amax
               ≤x ≤b
                             f ( x ) dx                  max
                                                        a ≤x ≤b
                                                                       f ( x ) ⋅ ∫dx
    sup a                                 =sup                                     a       =sup ( b −a ) =b −a ,
        f         max         f(x)            f             max                f(x)                 f
                 a ≤x ≤b                                  a ≤x ≤b

                                                    n                                                    n

                         In ( f )
                                                  ∑      f ( xk( n ) ) ⋅ Ak( n )                        ∑        f ( xk( n ) ) ⋅ Ak( n )
                                               k =0                                                     k =0
    I n =sup                      =sup                                                 ≤sup                                                ≤
                   f         f      f                    max       f(x)                     f                    max          f(x)
                                                        a ≤x ≤b                                                a ≤x ≤b
                                     n
             max
            a ≤x ≤b
                         f(x) ⋅    ∑      Ak( n )
                                                                           n                            n
                                  k =0
   sup
                        max      f(x)
                                                        =sup (             ∑     Ak( n )   ) = ∑ Ak( n )                  .
    f                                                        f         k =0                         k =0
                       a ≤x ≤b


Из этих неравенств следует, что I , In – ограниченные функционалы, причём
                                                                           n
                                  I ≤b −a ,                I n ≤ ∑ Ak( n )                      .                                    ( 1.20 )
                                                                       k =0