Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 9 стр.

                                                  9


Заменяя здесь модуль (n+1) – вой производной максимальным по отрезку [a,b]
значением и замечая, что расстояние � ( x – xj )� между точками x, xj отрезка
[a,b] не превышает длины b – a отрезка, приходим к выводу о том, что для
                           n+1
любой функции f класса C [a,b] справедлива оценка

                            1
              Rn ( f ) ≤         ⋅ max f ( n +1 )( x ) ⋅( b −a )n +2            .        ( 1.18 )
                        ( n +1 )! a ≤x ≤b

     В заключение коснёмся вопроса о сходимости при n → ∞ (т.е. при
неограниченном увеличении числа квадратурных узлов ) приближённого
значения интеграла In ( f ) к его точному значению I( f ), т.е. вопроса о
сходимости глобально-интерполяционного квадратурного процесса на классе
непрерывных на отрезке [a,b] функций.
     При исследовании глобальной интерполяции ставился вопрос о том,
существует ли алгоритм задания узлов интерполяции

                                          n ⇒   { xi( n ) } in=0   ,

                                                                                         (n)
при котором последовательность интерполяционных многочленов pn ({xi };f ),
(n=0,1,2, ... ) , отвечающих произвольной непрерывной на отрезке [a,b]
функции f, сходится при n → ∞ к исходной функции f равномерно на этом
отрезке [a,b], т.е. сходится к f в метрике пространства C[a,b] :


 f − pn ({ xi( n ) }, f )                 →   0 при n →                ∞ для ∀ f ∈C [ a ,b ] .
                            C [ a ,b ]

Ответ на этот вопрос отрицательный: при любом способе задания узлов найдётся
( для каждого способа, вообще говоря, своя ) функция f , для которой такая
сходимость места не имеет. А так как рассматриваемый в данном пункте способ
приближённого вычисления определённых интегралов основан на глобальной
интерполяции, отмеченный только что факт расходимости глобальных
интерполянтов наводит на мысль о возможных осложнениях и в задаче
вычисления интегралов. Такие сложности действительно имеют место, хотя и в
более слабой форме: в отличие от процесса глобальной интерполяции, где все
способы задания узлов, условно говоря, «плохие», в случае глобально-
интерполяционного квадратурного процесса имеются и «хорошие» способы
задания узлов, при использовании которых приближённые значения интеграла
In (f) сходятся к точному значению I(f) для любой непрерывной функции f :

           In ( f ) → I( f )             при n → ∞     для ∀ f ∈ C[a,b] .                 (1.19)