Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
При n=1 подинтегральная функция f заменяется интерполяционным
многочленом первой степени , т.е. линейной функцией. Если при этом в качестве
узлов интерполяции взяты концы отрезка ( x
0
= a , x
1
=b ), то геометрически это
соответствует тому ( рис. 1.4 ), что в качестве приближения к площади
криволинейной трапеции принимается площадь прямолинейной трапеции с
основаниями f(a), f(b) и высотой b – a. А так как площадь прямолинейной
трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту , приходим к
формуле:
которую естественно назвать формулой трапеции; квадратурные коэффициенты в
этом случае имеют значения
B
0
= B
1
= 1/2 .
Наконец , если n=2 , то функция f заменяется многочленом второй
степени , графиком которой является парабола; если при этом в качестве
квадратурных узлов приняты концы отрезка и его середина ( x
0
= a, x
1
= (a+b)/2 ,
x
2
= b ), то получается квадратурная формула, называемая формулой параболы,
или формулой Симпсона ( рис. 1.5 ).
Вывести формулу параболы из геометрических соображений, как это
делалось для формул прямоугольника и трапеции, затруднительно , поэтому нам
придётся воспользоваться формулами (1.11), (1.12). Вычисления по формулам
(1.12) с учётом равенств t
0
=0, t
1
=1/2 , t
2
=1 дают:
)15.1(,))b(f)a(f)(ab(
2
)b(f)a(f
)ab(dx)x(f
2
1
2
1
b
a
+−=
+
−≈
∫
                                              7




      При n=1 подинтегральная функция f заменяется интерполяционным
многочленом первой степени, т.е. линейной функцией. Если при этом в качестве
узлов интерполяции взяты концы отрезка ( x0 = a , x1 =b ), то геометрически это
соответствует тому ( рис. 1.4 ), что в качестве приближения к площади
криволинейной трапеции принимается площадь прямолинейной трапеции с
основаниями f(a), f(b) и высотой b – a. А так как площадь прямолинейной
трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, приходим к
формуле:

    b
                           f ( a ) +f (b )
    ∫f ( x )dx ≈( b −a )           2
                                           =( b −a )( 21 f ( a ) +12 f ( b ))   ,   ( 1.15 )
    a

которую естественно назвать формулой трапеции; квадратурные коэффициенты в
этом случае имеют значения

                                      B0 = B1 = 1/2 .

      Наконец, если n=2 , то функция f заменяется многочленом второй
степени, графиком которой является парабола; если при этом в качестве
квадратурных узлов приняты концы отрезка и его середина ( x0 = a, x1 = (a+b)/2 ,
x2 = b ), то получается квадратурная формула, называемая формулой параболы,
или формулой Симпсона ( рис. 1.5 ).




      Вывести формулу параболы из геометрических соображений, как это
делалось для формул прямоугольника и трапеции, затруднительно, поэтому нам
придётся воспользоваться формулами (1.11), (1.12). Вычисления по формулам
(1.12) с учётом равенств t0 =0, t1 =1/2 , t2 =1 дают:

Страницы