Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
значений функции f в точках (1.1) с коэффициентами (1.8).
Определение 1.1. Сумму в правой части равенства (1.9) называют
квадратурной суммой, а фигурирующие в ней точки x
k
и коэффициенты A
k
-
соответственно квадратурными узлами и квадратурными коэффициентами.
Замечание 1.2. Квадратурные коэффициенты (1.8) представляют собой
определённые интегралы от многочленов. Так как нахождение первообразной от
многочлена не представляет труда , эти коэффициенты легко могут быть
вычислены по правилу Ньютона- Лейбница. Отметим, что квадратурные
коэффициенты , как это видно из формулы (1.8), не зависят от значений функции
f в узлах интерполяции, а определяются исключительно расположением этих
узлов на отрезке [a,b]. Следовательно , их достаточно вычислить лишь один раз,
а затем использовать для вычисления определённых интегралов от всех функций
f , значения которых в этом наборе узлов заданы .
Замечание 1.3. Квадратурные коэффициенты полезно нормировать ,
воспользовавшись линейной заменой переменного
x=a + (b – a)t , (1.10)
порождающей взаимно однозначное отображение отрезка [0,1] оси t на отрезок
[a,b] оси x. Обозначая через t
m
прообразы узлов x
m
, подставляя в (1.8)
вытекающие из (1.10) равенства
x – x
j
= ( b – a )( t – t
j
) , x
k
– x
j
= ( b – a )( t
k
– t
j
) , dx = ( b – a )dt
и пересчитывая пределы интегрирования, получим
Следовательно , квадратурную сумму (1.9) можно представить в виде
где B
k
- нормированные квадратурные коэффициенты :
.n,...,1,0k,dt
)tt(
)tt(
)ab(A
1
0
n
kj
0j
jk
n
kj
0j
j
k
=
−
−
−=
∫
∏
∏
≠
=
≠
=
)11.1(,B)x(f)ab()f(I
n
0
k
kkn
∑
=
−=
                                                5


значений функции f в точках (1.1) с коэффициентами (1.8).
       Определение 1.1. Сумму в правой части равенства (1.9) называют
квадратурной суммой, а фигурирующие в ней точки xk и коэффициенты Ak -
соответственно квадратурными узлами и квадратурными коэффициентами.
       Замечание 1.2. Квадратурные коэффициенты (1.8) представляют собой
определённые интегралы от многочленов. Так как нахождение первообразной от
многочлена не представляет труда, эти коэффициенты легко могут быть
вычислены по правилу Ньютона-Лейбница. Отметим, что квадратурные
коэффициенты, как это видно из формулы (1.8), не зависят от значений функции
f в узлах интерполяции, а определяются исключительно расположением этих
узлов на отрезке [a,b]. Следовательно, их достаточно вычислить лишь один раз,
а затем использовать для вычисления определённых интегралов от всех функций
f , значения которых в этом наборе узлов заданы.
       Замечание 1.3. Квадратурные коэффициенты полезно нормировать,
воспользовавшись линейной заменой переменного

                                  x=a + (b – a)t                ,                             (1.10)

порождающей взаимно однозначное отображение отрезка [0,1] оси t на отрезок
[a,b] оси x. Обозначая через tm прообразы узлов xm , подставляя в (1.8)
вытекающие из (1.10) равенства

      x – xj = ( b – a )( t – tj ) , xk – xj = ( b – a )( tk – tj ) , dx = ( b – a )dt

и пересчитывая пределы интегрирования, получим

                                     n
                                   ∏ ( t −t j )
                             1 j =0
                               j ≠k
                 Ak =( b −a ) n ∫                      dt           ,   k =0 , 1, ... , n.
                             0
                                 ∏(t      k   −t j )
                                   j =0
                                   j ≠k


Следовательно, квадратурную сумму (1.9) можно представить в виде

                                                            n
                                I n ( f ) =( b −a )         ∑ f ( xk ) Bk         ,          ( 1.11 )
                                                        k =0

где Bk - нормированные квадратурные коэффициенты:

Страницы