Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

3
помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций, взятых в
конечном числе. В этом случае нахождение значений первообразной F(a), F(b) ,
фигурирующих в формуле Ньютона- Лейбница (1.2) , может оказаться сложной
задачей.
Отметим попутно , что первообразная F может оказаться неэлементарной и
в случае, когда сама функция f – элементарна . Классический пример такого рода
даёт функция
элементарная как суперпозиция показательной и степенной функций. Её
первообразная – встречающийся в теории вероятностей “ интеграл ошибок “
erf(x) – неэлементарная функция.
В -третьих, если функция f задана не аналитически, а таблицей своих
значений в некоторых точках отрезка [a,b] , то найти её первообразную и
воспользоваться формулой (1.2) не представляется возможным.
Во всех этих случаях интеграл (1.1) приходится вычислять приближённо ,
заменяя подинтегральную функцию f близкой функцией, интеграл от которой
уже может быть вычислен по формуле Ньютона- Лейбница; если в качестве такой
приближающей функции берётся интерполяционный многочлен, то формулу для
приближённого значения интеграла называют интерполяционной квадратурной
формулой.
Итак , пусть на отрезке [a,b] выбраны попарно различные точки
x
0
,x
1
, ... ,x
n
, (1.3)
и пусть в этих точках заданы значения функции f :
f(x
0
), f(x
1
), ... , f(x
n
) . (1.4)
Имеем :
f(x) = p
n
(x) + r
n
(x) , (1.5)
где
p
n
(x) = p
n
(x; {x
i
}; f )
- интерполяционный многочлен, построенный по значениям (1.4) функции f в
узлах (1.3), а
r
n
(x) = r
n
(x; {x
i
}; f )
- погрешность интерполяции в точке x . Подстановка (1.5) в (1.1) даёт
,e)x(f
2
x−
=
.dx)x(rdx)x(pdx)x(f
b
a
n
b
a
n
b
a
∫∫∫
+=
                                            3
помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций, взятых в
конечном числе. В этом случае нахождение значений первообразной F(a), F(b) ,
фигурирующих в формуле Ньютона-Лейбница (1.2) , может оказаться сложной
задачей.
      Отметим попутно, что первообразная F может оказаться неэлементарной и
в случае, когда сама функция f – элементарна. Классический пример такого рода
даёт функция
                                                   2
                                  f ( x ) =e −x        ,

элементарная как суперпозиция показательной и степенной функций. Её
первообразная – встречающийся в теории вероятностей “ интеграл ошибок “
erf(x) – неэлементарная функция.
       В-третьих, если функция f задана не аналитически, а таблицей своих
значений в некоторых точках отрезка [a,b] , то найти её первообразную и
воспользоваться формулой (1.2) не представляется возможным.
       Во всех этих случаях интеграл (1.1) приходится вычислять приближённо,
заменяя подинтегральную функцию f близкой функцией, интеграл от которой
уже может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница; если в качестве такой
приближающей функции берётся интерполяционный многочлен, то формулу для
приближённого значения интеграла называют интерполяционной квадратурной
формулой.
       Итак, пусть на отрезке [a,b] выбраны попарно различные точки

                                x0 ,x1 , ... ,xn                  ,           (1.3)

и пусть в этих точках заданы значения функции f :

                           f(x0 ), f(x1 ), ... , f(xn ) .                     (1.4)

      Имеем:
                          f(x) = pn (x) + rn (x) ,                            (1.5)

где
                             pn (x) = pn (x; {xi }; f )

- интерполяционный многочлен, построенный по значениям (1.4) функции f в
  узлах (1.3), а
                              rn (x) = rn (x; {xi }; f )

- погрешность интерполяции в точке x . Подстановка (1.5) в (1.1) даёт
                     b             b                        b
                     ∫f ( x )dx =∫pn ( x )dx           +    ∫rn ( x )dx   .
                     a             a                        a

Страницы