Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 4 стр.

                                                   4


Первое слагаемое в правой части полученного равенства
                                             b
                                 I n ( f ) =∫pn ( x )dx                                   ( 1.6 )
                                             a

есть точное значение определённого интеграла от интерполяционного
многочлена, вычисляемое по формуле Ньютона-Лейбница и принимаемое в
качестве приближённого значения определённого интеграла от исходной функции
f ; величина же
                                                 b
                                  Rn ( f ) =∫rn ( x )dx                                    ( 1.7 )
                                                 a

есть погрешность этого приближённого значения.
      Установим структуру выражения (1.6). Записывая интерполяционный
многочлен pn (x) в форме Лагранжа и подставляя это представление в (1.6),
получим:

                                                       n
                                                   ∏ ( x −x j )
             b             b      n                  j =0                  n
                                                     j ≠k
    I n ( f ) =∫pn ( x )dx =∫(   ∑ f ( xk )          n
                                                                  )dx = ∑ f ( xk ) ⋅ Ak   ,
                                 k =0                                     k =0
             a             a
                                                  ∏ ( xk −x j )
                                                  j =0
                                                  j ≠k
где использованы обозначения

                                              n
                                            ∏ ( x −x j )
                                        b   j =0
                                            j ≠k
                                 Ak =∫      n
                                                             dx       .                   ( 1.8 )
                                        a
                                            ∏ ( xk −x j )
                                            j =0
                                            j ≠k


Следовательно, приближенное значение In ( f ) искомого интеграла I ( f ) есть
линейная комбинация

                                                   n
                                  I n ( f ) = ∑ f ( xk ) ⋅ Ak                             ( 1.9 )
                                                 k =0