Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
следовательно , формула Симпсона имеет вид:
Обратимся теперь к вопросу о погрешности квадратурной формулы.
Вспоминая формулу для погрешности интерполяционного многочлена
и подставляя это выражение в (1.7), получим
где ξ(x) – некоторая точка отрезка [a,b]. Так как модуль интеграла не
превосходит интеграла от модуля, а модуль произведения равен произведению
модулей сомножителей, имеем :
,
6
1
dt)
2
1
t
2
3
t(2dt
)1)(
2
1
(
)1t)(
2
1
t(
dt
)tt)(tt(
)tt)(tt(
B
1
0
2
1
0
1
0
2010
21
0
=+−=
−−
−−
=
−−
−−
=
∫∫∫
∫∫∫
=−−=
−
−
=
−−
−−
=
1
0
1
0
2
1
0
2101
20
1
,
3
2
dt)tt(4dt
)
2
1
(
2
1
)1t(t
dt
)tt)(tt(
)tt)(tt(
B
∫∫∫
=−=
⋅
−
=
−−
−−
=
1
0
1
0
2
1
0
1202
10
2
;
6
1
dt)t
2
1
t(2dt
)
2
1
(1
)
2
1
t(t
dt
)tt)(tt(
)tt)(tt(
B
)16.1(.))b(f)2/)ba((f4)a(f(
6
ab
dx)x(f
b
a
+++
−
≈
∫
∏
=
+
−
+
=
n
0j
j
)1n(
n
)xx(
)!1n(
))x((f
)x(r
ξ
)17.1(,dx)xx())x((f
)!1n(
1
)f(R
b
a
n
0j
j
)1n(
n
∫
∏
=
+
−
+
= ξ
.dx)xx())x((f
)!1n(
1
)f(R
b
a
n
0j
j
)1n(
n
∫
∏
=
+
−⋅
+
≤ ξ
                                                      8

                                                      1
         1                                 1(t      − )( t −1 )       1
           ( t −t1 )( t −t2 )                         2                       3   1      1
    B0 =∫                     dt =∫                             dt =2 ∫( t 2 − t + )dt =              ,
         ( t0 −t1 )( t0 −t2 )                         1
                                                   ( − )( −1 )                2   2     6
         0                                 0                         0
                                                      2

             1                             1                             1
            ( t −t0 )( t −t 2 )       t( t −1 )                        2
     B1 =∫                      dt =∫           dt =−4 ∫( t 2 −t )dt =                  ,
          ( t −t0 )( t1 −t2 )         1 1                              3
         0 1                        0 (− )             0
                                      2 2

                                            1
             1                       t( t − )  1    1
            ( t −t0 )( t −t1 )              2               1        1
     B2 =∫                     dt =∫          dt =2 ∫( t 2 − t )dt =                        ;
          ( t −t0 )( t 2 −t1 )             1                2       6
         0 2                       0 1 ⋅( )         0
                                           2


следовательно, формула Симпсона имеет вид:

             b
                         b −a
             ∫f ( x )dx ≈
                           6
                              ( f ( a ) +4 f (( a +b ) / 2 ) + f ( b )) .                       ( 1.16 )
             a



     Обратимся теперь к вопросу о погрешности квадратурной формулы.
     Вспоминая формулу для погрешности интерполяционного многочлена

                                    f ( n +1 ) ( ξ( x )) n
                         rn ( x ) =
                                        ( n +1 )!
                                                        ∏ ( x −x j )
                                                        j =0


и подставляя это выражение в (1.7), получим

                                       b                           n
                               1               ( n +1 )
                 Rn ( f ) =            ∫f                 ( ξ( x )) ∏ ( x −x j ) dx ,            ( 1.17 )
                           ( n +1 )!                              j =0
                                       a

где ξ(x) – некоторая точка отрезка [a,b]. Так как модуль интеграла не
превосходит интеграла от модуля, а модуль произведения равен произведению
модулей сомножителей, имеем:
                                           b                      n
                                 1         ( n +1 )
                                                    ( ξ( x )) ⋅ ∏ ( x −x j ) dx .
                             ( n +1 )! ∫
                   Rn ( f ) ≤            f
                                       a                        j =0

Страницы