Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
Заметим, что на самом деле здесь имеют место равенства.
Действительно , полагая f
0
(x) ≡ 1, получим неравенство
противоположное левому из неравенств (1.20).
Аналогично , задавая функцию f
1
в квадратурных узлах формулой
и доопределяя её между соседними узлами по линейности , а между крайними
узлами и концами отрезка константами, равными значениям f
1
в крайних узлах,
получим непрерывную на [a,b] функцию с нормой, равной единице. С
использованием этой функции получаем неравенство
противоположное правому из неравенств (1.20).
Следовательно ,
Отметим, что мы добавили в обозначения квадратурных узлов и
квадратурных коэффициентов верхний индекс n , чтобы подчеркнуть тот факт,
что при каждом n они представляют собой свои наборы точек и чисел .
Теорема 1.5. Для сходимости глобально - интерполяционного квадратурного
процесса на классе C[a,b], т.е. для справедливости соотношения (1.19),
необходимо и достаточно , чтобы величины (1.21) были равномерно по n
ограничены :
Доказательство . На языке функционального анализа соотношение (1.19)
означает сильную сходимость функционалов I
n
к функционалу I , т.е.
сходимость значений I
n
(f) функционалов I
n
к значению I(f) функционала I на
,ab
1
ab
f
)f(I
f
)f(I
supI
0
0
f
−=
−
=≥=
n,...,1,0k,Asign)x(f
)n(
k
)n(
k
1
==
,A
1
)A)Asign(
f
)f(I
f
)f(I
supI
n
0k
)n(
k
n
0k
)n(
k
)n(
k
1
1nn
f
n
∑
∑
=
=
=
⋅
=≥=
)21.1(.AI
n
0k
)n(
k
n
∑
=
=
)22.1(.nотзависитнеC,CA
n
0
k
)n(
k
∞<≤
∑
=
                                                11


     Заметим, что на самом деле здесь имеют место равенства.
     Действительно, полагая f0 (x) ≡1, получим неравенство

                                       I( f )   I ( f0 ) b −a
                         I =sup               ≥         =     =b −a ,
                                  f      f         f0      1

противоположное левому из неравенств (1.20).
     Аналогично, задавая функцию f1 в квадратурных узлах формулой

                       f 1( xk( n ) ) =sign Ak( n )        ,       k =0 ,1, ... , n

и доопределяя её между соседними узлами по линейности, а между крайними
узлами и концами отрезка константами, равными значениям f1 в крайних узлах,
получим непрерывную на [a,b] функцию с нормой, равной единице. С
использованием этой функции получаем неравенство

                                                n

             I (f)  I (f )
                                              ∑ ( sign Ak( n ) ) ⋅ Ak( n ) )             n
    I n =sup n     ≥ n 1 = k =0                                                       = ∑ Ak( n )      ,
          f    f      f1                                           1                   k =0


противоположное правому из неравенств (1.20).
     Следовательно,
                                                      n
                                         I n = ∑ Ak( n )                .                       ( 1.21 )
                                                    k =0

      Отметим, что мы добавили в обозначения квадратурных узлов и
квадратурных коэффициентов верхний индекс n , чтобы подчеркнуть тот факт,
что при каждом n они представляют собой свои наборы точек и чисел.
      Теорема 1.5. Для сходимости глобально-интерполяционного квадратурного
процесса на классе C[a,b], т.е. для справедливости соотношения (1.19),
необходимо и достаточно, чтобы величины (1.21) были равномерно по n
ограничены:
                 n
                ∑      Ak( n )    ≤C <∞ ,                      C   не зависит от n .                ( 1.22 )
                k =0

     Доказательство. На языке функционального анализа соотношение (1.19)
означает сильную сходимость функционалов In к функционалу I , т.е.
сходимость значений In (f) функционалов In к значению I(f) функционала I на

Страницы