Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
первое слагаемое которой
принимается в качестве приближенного значения интеграла, а второе слагаемое
представляет собой погрешность этого приближённого значения.
Заменяя фигурирующие в (2.8) интегралы по частичным отрезкам
разбиения их представлениями в виде квадратурных сумм:
( для вывода этой формулы следует в равенстве (1.11) заменить узел x
k
узлом
x
k
(i)
, а множитель (b-a) – длиной h частичного отрезка разбиения ), вынося h за
знак суммы по i и подставляя вместо h его значение (2.1), приходим к записи
приближённого значения интеграла в виде
Поскольку вывод этой формулы основан на локальной интерполяции, т.е. на
замене функции f на каждом частичном отрезке разбиения своим
интерполяционным многочленом, сумму (2.10) называют локально
интерполяционной квадратурной суммой, а формулу для приближённого
вычисления интеграла
полученную отбрасыванием второго слагаемого в равенстве (2.7) и записью
первого в виде (2.10) – локально интерполяционной квадратурной формулой.
)8.2(dx)x(p)f(I
1N
0i
x
x
)i(
n
N
n
1i
i
∑
∫
−
=
+
=
)9.2(dx)x(r)f(R
1N
0i
x
x
)i(
n
N
n
1i
i
∑
∫
−
=
+
=
∑
∫
=
=
+
n
0k
k
)i(
k
x
x
)i(
n
B)x(fhdx)x(p
1i
i
)10.2(.B)x(f
N
ab
)f(I
1N
0
i
n
0
k
k
)i(
k
N
n
∑∑
−
==
−
=
)11.2(,B)x(f
N
ab
dx)x(f)f(I
1N
0i
n
0k
k
)i(
k
b
a
∑∑
∫
−
==
−
≈=
                                                    14
первое слагаемое которой

                                                          N −1 xi +1
                                          I nN (   f )=∑                 ∫pn
                                                                            (i )
                                                                                   ( x )dx            ( 2.8 )
                                                           i =0      xi

принимается в качестве приближенного значения интеграла, а второе слагаемое


                                                   N −1 xi +1
                              RnN (      f )=∑             ∫rn
                                                                  (i )
                                                                         ( x )dx                     ( 2.9 )
                                                   i =0    xi



представляет собой погрешность этого приближённого значения.
     Заменяя фигурирующие в (2.8) интегралы по частичным отрезкам
разбиения их представлениями в виде квадратурных сумм:

                           xi +1                           n
                            ∫    pn( i ) ( x )dx    =h    ∑       f ( x(k i ) ) Bk
                            xi                            k =0


( для вывода этой формулы следует в равенстве (1.11) заменить узел xk узлом
  (i)
xk , а множитель (b-a) – длиной h частичного отрезка разбиения ), вынося h за
знак суммы по i и подставляя вместо h его значение (2.1), приходим к записи
приближённого значения интеграла в виде

                                                   b −a N −1 n
                                     I nN (   f )=      ∑   ∑
                                                     N i =0 k =0
                                                                 f ( xk( i ) ) Bk            .       ( 2.10 )


     Поскольку вывод этой формулы основан на локальной интерполяции, т.е. на
замене функции      f   на каждом частичном отрезке разбиения своим
интерполяционным многочленом, сумму         (2.10)     называют локально
интерполяционной квадратурной    суммой, а формулу для приближённого
вычисления интеграла

                                          b −a N −1 n
                                 b
                    I ( f ) =∫f ( x )dx ≈      ∑    ∑
                                            N i =0 k =0
                                                        f ( xk( i ) ) Bk                         ,   ( 2.11 )
                             a

полученную отбрасыванием второго слагаемого в равенстве (2.7) и записью
первого в виде (2.10) – локально интерполяционной квадратурной формулой.

Страницы