ВУЗ:
Составители:
24
В правой части равенства (4.3) под знаком интеграла стоит разность значений
функции f в точках, расстояние между которыми не превосходит длины h
частичного отрезка разбиения. Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то
по теореме Кантора она равномерно непрерывна на нём. Но тогда по любому
ε >0 найдётся h(ε) такое ,что при h < h(ε) абсолютные величины
подинтегральных выражений в правой части равенства (4.3) не превосходят ε :
а значит, для погрешности квадратурной формулы будем иметь :
Ввиду произвольности ε полученная оценка означает стремление
погрешности R
0
N
( f ) к нулю при h → 0. Используя для обозначения бесконечно
малой, стремящейся к нулю при h → 0 , стандартное обозначение o(1),
приходим к равенству:
справедливому для любой непрерывной на [a,b] функции f .
Соотношение (4.4) называют локально интерполяционной квадратурной
формулой левых прямоугольников с остаточным членом.
Покажем , что для функций f класса C
1
[a,b] остаточный член o(1)
формулы (4.4) есть бесконечно малая порядка O(h).
Применяя формулу вида (4.1) к каждому из частичных отрезков разбиения,
получим для погрешности квадратурной формулы (4.2) представление:
)3.4(.dx))x(f)x(f(
dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f)f(R
1N
0i
x
x
i
1N
0i
1N
0i
1N
0i
x
x
i
x
x
x
x
i
b
a
N
0
1i
i
1i
i
1i
i
1i
i
∑
∫
∑∑∑
∫∫∫∫
−
=
−
=
−
=
−
=
+
+++
−=
=−=−=
,1N,...,1,0iлюбогои ]x,x[xлюбогодля)x(f)x(f
1iii
−
=
∈
≤
−
+
ε
.)ab(N
N
ab
Nhh)x
x(dx))x(f)x(fdx))x(f)x(f()f(R
1N
0
i
i
1N
0i
1i
1N
0i
x
x
i
1N
0i
x
x
i
N
0
1i
i
1i
i
−=
−
===−
−≤−≤−≤
∑
∑∑
∫
∑
∫
−
=
−
=
+
−
=
−
=
++
εεεε
ε
)4.4(,)1(o)x(fhdx)x(f
1N
0i
i
b
a
+=
∑
∫
−
=
24 b N −1 xi +1 N −1 xi +1 N −1 xi +1 R0N ( f ) =∫f ( x )dx − ∑ ∫f ( xi )dx = ∑ ∫f ( x )dx − ∑ ∫f ( xi )dx = a i =0 xi i =0 xi i =0 xi N −1 xi +1 =∑ ∫( f ( x ) − f ( xi ))dx . ( 4.3 ) i =0 xi В правой части равенства (4.3) под знаком интеграла стоит разность значений функции f в точках, расстояние между которыми не превосходит длины h частичного отрезка разбиения. Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на нём. Но тогда по любому ε >0 найдётся h(ε) такое ,что при h < h(ε) абсолютные величины подинтегральных выражений в правой части равенства (4.3) не превосходят ε : f ( x ) − f ( xi ) ≤ε для любого x ∈[ xi , xi +1 ] и любого i =0 ,1, ... , N −1 , а значит, для погрешности квадратурной формулы будем иметь: N −1 xi +1 N −1 xi +1 N −1 R0N ( f ) ≤∑ ∫( f ( x ) − f ( xi ))dx ≤ ∑ ∫ f ( x ) − f ( xi )) dx ≤ε ∑ ( xi +1 − i =0 xi i =0 xi i =0 N −1 b −a −xi ) =ε ∑ h =ε h N =ε N =ε ( b −a ) . i =0 N Ввиду произвольности ε полученная оценка означает стремление погрешности R0 ( f ) к нулю при h → 0. Используя для обозначения бесконечно N малой, стремящейся к нулю при h → 0 , стандартное обозначение o(1), приходим к равенству: b N −1 ∫f ( x )dx =h ∑ f ( xi ) +o( 1 ) , ( 4.4 ) a i =0 справедливому для любой непрерывной на [a,b] функции f . Соотношение (4.4) называют локально интерполяционной квадратурной формулой левых прямоугольников с остаточным членом. 1 Покажем, что для функций f класса C [a,b] остаточный член o(1) формулы (4.4) есть бесконечно малая порядка O(h). Применяя формулу вида (4.1) к каждому из частичных отрезков разбиения, получим для погрешности квадратурной формулы (4.2) представление:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »