Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 24 стр.

                                                    24
               b                N −1 xi +1           N −1 xi +1             N −1 xi +1
R0N (   f ) =∫f ( x )dx − ∑              ∫f ( xi )dx = ∑ ∫f ( x )dx − ∑ ∫f ( xi )dx =
               a                i =0    xi           i =0       xi          i =0   xi
  N −1 xi +1
=∑         ∫( f ( x ) − f ( xi ))dx          .                                                    ( 4.3 )
  i =0    xi


В правой части равенства (4.3) под знаком интеграла стоит разность значений
функции f в точках, расстояние между которыми не превосходит длины h
частичного отрезка разбиения. Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то
по теореме Кантора она равномерно непрерывна на нём. Но тогда по любому
ε >0 найдётся h(ε) такое ,что при h < h(ε) абсолютные величины
подинтегральных выражений в правой части равенства (4.3) не превосходят ε :

  f ( x ) − f ( xi ) ≤ε для любого x ∈[ xi , xi +1 ]                  и   любого i =0 ,1, ... , N −1 ,

а значит, для погрешности квадратурной формулы будем иметь:

                   N −1 xi +1                            N −1 xi +1                        N −1
R0N (    f ) ≤∑           ∫( f ( x ) − f ( xi ))dx ≤ ∑ ∫ f ( x ) − f ( xi )) dx ≤ε ∑ ( xi +1 −
                   i =0   xi                             i =0    xi                        i =0
           N −1
                                       b −a
−xi ) =ε ∑ h =ε h N =ε                      N =ε ( b −a ) .
            i =0                         N
     Ввиду произвольности      ε полученная оценка означает стремление
погрешности R0 ( f ) к нулю при h → 0. Используя для обозначения бесконечно
               N

малой, стремящейся к нулю при h → 0 , стандартное обозначение o(1),
приходим к равенству:
                                        b             N −1
                                        ∫f ( x )dx =h ∑ f ( xi ) +o( 1 )      ,               ( 4.4 )
                                        a                i =0

справедливому для любой непрерывной на [a,b] функции f .
     Соотношение (4.4) называют локально интерполяционной квадратурной
формулой левых прямоугольников с остаточным членом.
                                              1
     Покажем, что для функций f класса C [a,b] остаточный член o(1)
формулы (4.4) есть бесконечно малая порядка O(h).
     Применяя формулу вида (4.1) к каждому из частичных отрезков разбиения,
получим для погрешности квадратурной формулы (4.2) представление: