Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 26 стр.

                                                    26

                                b                        N −1
                                            b −a
                                ∫f ( x )dx = N           ∑ f ( xi ) +ch +o( h )    ,          ( 4.9 )
                                a                        i =0

где с есть константа (4.7).
     Заметим, что мы не только показали, что в случае           непрерывно
дифференцируемой на         [a,b]   функции     f    погрешность локально
интерполяционной квадратурной формулы левых прямоугольников имеет
порядок O(h), но и выделили главный член ch этой погрешности.
     Проводя аналогичные рассуждения, для погрешности интерполяционной
квадратурной формулы трапеции (1.15 ) в предположении f∈ C 2[a,b] получим


                        1
             R1( f ) =− f ′′( ξ ) ( b −a )3               ,     ξ ∈[ a ,b ] .                 ( 4.10 )
                       12


Далее, применяя эту формулу к частичному отрезку разбиения [xi ,xi+1], для
погрешности локально интерполяционной формулы трапеций будем иметь
                 N −1                                       N −1
             1                                      1
R1N ( f ) =−
            12
                 ∑      f ′′( ξi )( xi +1 −xi )3 =− h 2 ( h ∑ f ′′( ξi ) ) =
                                                   12
                i =0                                        i =0
             N −1
   1                            1 2 N −1
=− h 2 { h
  12
             ∑ i 12 h ( h ∑ ( f ′′( ξi ) − f ′′( xi ) ) ) , ξi ∈[ xi , xi +1 ] . ( 4.11 )
                  f ′′( x ) } −
             i =0                   i =0

      Пользуясь равномерной непрерывностью второй производной функции f и
оценивая разности значений этой производной в точках ξ i , xi подобно тому,
как выше оценивались подобные разности для функции f , легко установить, что
второе слагаемое в правой части (4.11) есть величина порядка h ⋅ o(1) = o(h ).
                                                              2            2

Множитель же в фигурных скобках в первом слагаемом есть квадратурная сумма
левых прямоугольников для интеграла
                                                b
                                                ∫f ′′( x )dx ;
                                                a

записывая для этого интеграла равенство вида (4.4), выражая из него указанную
квадратурную сумму и подставляя результат в (4.11), получим
                                                                         b
                                                                     1
                       R1N (                                             ∫f ′′( x )dx
                                     2      2
                               f ) =ch +o( h ) ,                c =−                    .   ( 4.12 ).
                                                                    12
                                                                         a