Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
позволяющее ориентировочно оценить погрешность вычисленного
приближенного значения интеграла I
0
2N
( f ) на основе знания значений I
0
N
( f ),
I
0
2N
( f ).
Заметим, что если подставить значение (4.17) величины ch/2 в формулу
(4.16) и в полученном равенстве
рассматривать величину
как новое приближение к искомому значению I( f ) интеграла, то погрешность
этого нового приближения, как видно из (4.19), окажется величиной порядка
o(h), т.е. будет иметь более высокий порядок малости по h, чем погрешность
приближения I
0
2N
( f ) ( последняя в силу (4.16) имеет порядок O(h) ).
Такой способ уточнения приближённых значений интеграла называют
экстраполяцией по Ричардсону .
Аналогичные выкладки в случае формулы трапеций приводят к
соотношениям:
первое из которых позволяет ориентировочно оценить погрешность
приближённого значения интеграла I
1
2N
( f ), а второе даёт уточнённое по
Ричардсону приближение с погрешностью порядка o(h
2
).
Рассмотренные выше квадратурные формулы левого прямоугольника и
трапеции обладают той общей особенностью , что их квадратурные узлы лежат на
границе отрезка [a,b]. Благодаря этому фигурирующие в общем выражении для
погрешности интерполяционной квадратурной формулы
)18.4(,)f(I)f(I)f(I)f(I
N
0
N2
0
N2
0
−≈−
)19.4()h(o)]f(I)f(I[)f(I)f(I
3
N
0
N2
0
N2
0
+−+=
)20.4()f(I)f(I2)]f(I)f(I[)f(I)f(I
~
N
0
N2
0
N2
0
N2
0
N2
0
N2
0
−⋅=−+=
)21.4(,3/))f(I)f(I()f(I)f(I
N
1
N2
1
N2
1
−≈−
)22.4(,3/))f(I)f(I4()f(I
~
N
1
N2
1
N2
1
−=
∫∫
−−
+
=
+
+
+
+
b
a
n0
)1n(
b
a
1n
)1n(
dx)xx(...)xx))(x((f
)!1n(
1
dx)x())x((f
)!1n(
1
ξωξ
                                                     28



                         I ( f ) −I 02 N ( f ) ≈ I 02 N ( f ) −I 0N ( f )       ,                ( 4.18 )


позволяющее    ориентировочно      оценить     погрешность     вычисленного
                                    2N                                N
приближенного значения интеграла I0 ( f ) на основе знания значений I0 ( f ),
     2N
I0        ( f ).
      Заметим, что если подставить значение (4.17) величины ch/2 в формулу
(4.16) и в полученном равенстве

                     I ( f ) =I 02 N ( f ) +[ I 02 N ( f ) −I 0N ( f )] +o3 ( h )               ( 4.19 )

рассматривать величину
      ~
      I 02 N ( f ) =I 02 N ( f ) +[ I 02 N ( f ) −I 02 N ( f )] =2 ⋅ I 02 N ( f ) −I 0N ( f )   ( 4.20 )

как новое приближение к искомому значению I( f ) интеграла, то погрешность
этого нового приближения, как видно из (4.19), окажется величиной порядка
o(h), т.е. будет иметь более высокий порядок малости по h, чем погрешность
приближения I0 2N( f ) ( последняя в силу (4.16) имеет порядок O(h) ).
      Такой способ уточнения приближённых значений интеграла называют
экстраполяцией по Ричардсону.
      Аналогичные выкладки в случае формулы трапеций приводят к
соотношениям:

                            I ( f ) −I 12 N ( f ) ≈( I 12 N ( f ) −I 1N ( f )) / 3 ,            ( 4.21 )


                            ~
                            I 12 N ( f ) =( 4 I 12 N ( f ) −I 1N ( f )) / 3 ,                   ( 4.22 )

первое из которых позволяет ориентировочно оценить погрешность
                                      2N
приближённого значения интеграла I1 ( f ), а второе даёт уточнённое по
Ричардсону приближение с погрешностью порядка o(h2).
     Рассмотренные выше квадратурные формулы левого прямоугольника и
трапеции обладают той общей особенностью, что их квадратурные узлы лежат на
границе отрезка [a,b]. Благодаря этому фигурирующие в общем выражении для
погрешности интерполяционной квадратурной формулы

               b                                             b
    1                                            1
          ∫f ( n +1 ) ( ξ( x ))ωn +1( x )dx =          ∫f ( n +1 ) ( ξ( x ))( x −x0 ) ... ( x −xn ) dx
( n +1 )!                                    ( n +1 )!
               a                                             a

Страницы