Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 4. Численное интегрирование. Гудович Н.Н. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

31
где через x
∗
обозначена некоторая
точка отрезка [a,b] , зависящая,
очевидно , от b: x
∗
∈ [a,b], x
∗
=x
∗
(b).
Ввиду произвольности b справедливо и равенство
где x
∗
(x) – некоторая точка отрезка [a,x], зависящая, очевидно от x.
Интегрирование равенства (4.26) по отрезку [a,b] с учётом вытекающего из
(4.24) соотношения R
0
(a)=0 даёт равенство
которое после применения к интегралу теоремы о среднем переходит в равенство
где ξ - некоторая точка отрезка [a,b] : ξ=x
∗
(x
∗∗
), x
∗∗
∈[a,b]. Вычисляя
интеграл справа, окончательно получаем для погрешности формулы левого
прямоугольника ранее выведенное представление (4.1) :
Замечание 4.2.Существует приём, позволяющий представить погрешность
локально интерполяционной квадратурной формулы в виде произведения
производной соответствующего порядка в некоторой промежуточной точке
отрезка [a,b] на множитель, содержащий длину h частичных отрезков
разбиения в некоторой степени . Суть этого приёма мы также поясним на примере
формулы левых прямоугольников.
Запишем ранее выведенное ( см. стр.24 ) представление для погрешности
этой формулы в случае f ∈ C
1
[a,b] :
(напомним, что это представление выводится применением соотношения типа
(4.27) к частичным отрезкам разбиения [x
i
,x
i+1
] ).
Выпишем очевидные неравенства
)26.4(,bxa,)ax))(x(x(f)x(R
0
≤≤−
′
=
′
∗
∫
−
′
=
∗
b
a
0
,dx)ax))(x(x(f)b(R
,dx)ax()(f)b(R
b
a
0
∫
−
′
= ξ
)27.4(.
2
)ab(
)(f)f;b(R
2
0
−
′
= ξ
)28.4(]x,x[,})(f
N
1
{
N2
)ab(
)(f
2
h
)f(R
1iii
1N
0
i
i
2
1N
0
i
i
2
N
0 +
−
=
−
=
∈
′
−
=
′
=
∑∑
ξξξ
                                             31
                 ∗
 где через x      обозначена некоторая точка отрезка                    [a,b] , зависящая,
                  ∗          ∗ ∗
 очевидно, от b: x ∈ [a,b], x =x (b).
      Ввиду произвольности b справедливо и равенство

                       R0′ ( x ) = f ′( x ∗( x ))( x −a ) , a ≤x ≤b ,               ( 4.26 )

 где x∗(x) – некоторая точка отрезка [a,x], зависящая, очевидно от x.
 Интегрирование равенства (4.26) по отрезку [a,b] с учётом вытекающего из
 (4.24) соотношения R0 (a)=0 даёт равенство
                                        b
                              R0 ( b ) =∫f ′( x∗( x ))( x −a )dx ,
                                        a

 которое после применения к интегралу теоремы о среднем переходит в равенство

                                                  b
                                 R0 ( b ) = f ′( ξ )∫( x −a )dx ,
                                                  a

 где    ξ - некоторая точка отрезка [a,b] : ξ=x∗(x∗∗), x∗∗∈[a,b]. Вычисляя
 интеграл справа, окончательно получаем для погрешности формулы левого
 прямоугольника ранее выведенное представление (4.1) :

                                                        ( b −a )2
                               R0 ( b; f ) = f ′( ξ )               .            ( 4.27 )
                                                            2

       Замечание 4.2.Существует приём, позволяющий представить погрешность
 локально интерполяционной квадратурной формулы в виде произведения
 производной соответствующего порядка в некоторой промежуточной точке
 отрезка [a,b] на множитель, содержащий длину h частичных отрезков
 разбиения в некоторой степени. Суть этого приёма мы также поясним на примере
 формулы левых прямоугольников.
       Запишем ранее выведенное ( см. стр.24 ) представление для погрешности
 этой формулы в случае f ∈ C 1 [a,b] :

             h 2 N −1         ( b −a )2 1 N −1
R0N (   f )=     ∑ f ′( ξi ) = 2 N { N ∑ f ′( ξi ) } , ξi ∈[ xi , xi +1 ]
              2 i =0
                                                                                    ( 4.28 )
                                          i =0

 (напомним, что это представление выводится применением соотношения типа
 (4.27) к частичным отрезкам разбиения [xi ,xi+1] ).
       Выпишем очевидные неравенства

Страницы