Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 30 стр.

QWLQ@]IHSQ OB_EDINENIQMI PODSEMEJSTW SEMEJSTWA f (x) : x 2 X g.
                                                                  S
tOGDA | TOPOLOGIQ NA X , A SOWOKUPNOSTX f (x) : x 2 X g | SISTEMA
OKRESTNOSTEJ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA (X ):
    3.27. pRIMERY. 1) pUSTX X | PODMNOVESTWO WE]ESTWENNOJ PLOSKOS-
TI, SOSTOQ]EE IZ WSEH TO^EK (x y) TAKIH, ^TO y > 0. zADADIM TOPOLOGI@
NA X POSREDSTWOM SISTEMY OKRESTNOSTEJ. dLQ TO^KI (x 0) PUSTX  ((x 0))
SOSTOIT IZ WSEWOZMOVNYH OTKRYTYH KRUGOW, CELIKOM LEVA]IH W WERHNEJ
POLUPLOSKOSTI I KASA@]IHSQ OSI ABSCISS W TO^KE (x 0), K KOTORYM PRI-
SOEDINENA SAMA \TA TO^KA. dLQ TO^KI (x y) S POLOVITELXNOJ ORDINATOJ
PUSTX  ((x y)) SOSTOIT IZ WSEWOZMOVNYH OTKRYTYH KRUGOW S CENTROM W
(x y) I CELIKOM LEVA]IH W WERHNEJ POLUPLOSKOSTI (SM. rIS. 3).
                            y
                                               


                                   0
                   (x 0)                                        x
                                    Puc:3
   lEGKO PROWERITX, ^TO NABOR f ((x y)) j (x y) 2 X g UDOWLETWORQET
SWOJSTWAM (BP1){(BP3), A, ZNA^IT, OPREDELQET TOPOLOGI@ NA X . pRO-
STRANSTWO X S \TOJ TOPOLOGIEJ NAZYWAETSQ PLOSKOSTX@ nEMYCKOGO.
   2) pUSTX N | NORMIROWANNOE PROSTRANSTWO, N  | PROSTRANSTWO LI-
NEJNYH OGRANI^ENNYH FUNKCIONALOW NA N I x | PROIZWOLXNYJ \LEMENT
IZ N . dLQ L@BOGO KONE^NOGO NABORA FUNKCIONALOW f1 f2  : : :  fn 2 N  I
L@BOGO DEJSTWITELXNOGO ^ISLA " > 0 RASSMOTRIM PODMNOVESTWO W PRO-
STRANSTWE N :
   V (x f1 f2  : : :  fn ") := fy 2 N : jfk (y) ; fk (x)j < " k = 1 2 : : :  ng:
pUSTX  (x) | SEMEJSTWO WSEWOZMOVNYH TAKIH MNOVESTW. lEGKO PROWE-
RITX, S^TO SEMEJSTWA  (x) UDOWLETWORQ@T SWOJSTWAM (BP1){(BP3). pO\-
TOMU f (x) : x 2 N g | BAZA NEKOTOROJ TOPOLOGII, KOTORU@ NAZYWA@T
SLABOJ TOPOLOGIEJ W N .
   3.28. zAME^ANIE. oSOBENNO UDOBNO ZADAWATX TOPOLOGII S POMO]X@
SISTEM OKRESTNOSTEJ W TEH STRUKTURAH, W KOTORYH DLQ WWEDENIQ TOPOLO-
GII DOSTATO^NO UKAZATX LOKALXNU@ BAZU WSEGO LIX W ODNOJ TO^KE. nA-
PRIMER, W GRUPPAH I WEKTORNYH PROSTRANSTWAH ^ASTO UKAZYWAETSQ LIX
LOKALXNAQ BAZA NEJTRALXNOGO \LEMENTA.
   3.29. oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO UDOW-



                                          30