Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

S
S N
S
H
1
H
S
Γ, ∆
Γ, A
Γ A
S Γ → ∆
Γ ∆
Γ → → ∆ →
Σ =
L(S) S
Ax(S)
A
0
, Γ → ∆, A
0
.
A
0
Γ ∆
S
Rl(S)
Rl(S)
(→ N)
Γ → ∆, A Γ → ∆, B
Γ → ∆, A N B
(N →)
A, B, Γ → ∆
A N B, Γ → ∆
(→ ∨)
Γ → ∆, A, B
Γ → ∆, A ∨ B
2. Èñ÷èñëåíèå S ñåêâåíöèàëüíîãî òèïà                                  113


   Âûðàæåíèÿìè ÈÑ S , òàê æå, êàê è â ÈÑ N , áóäóò ôîðìóëû è
ñåêâåíöèè. Îïðåäåëåíèå ôîðìóëû S ñîâïàäàåò ñ àíàëîãè÷íûì îïðåäå-
ëåíèåì â H1 . Ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òåìè æå ìåòàëèíãâèñòè÷åñêèìè
îáîçíà÷åíèÿìè äëÿ ôîðìóë, ÷òî è â H . Òàêæå ïðîèçâîëüíûå ôîðìóëû
â ÈÑ S áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîïèñíûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè. Äëÿ îáî-
çíà÷åíèÿ êîíå÷íûõ, âîçìîæíî ïóñòûõ, ìóëüòèìíîæåñòâ (èëè íàáîðîâ)
ôîðìóë áóäóò, êàê è ðàíåå, èñïîëüçîâàòüñÿ ãðå÷åñêèå ïðîïèñíûå áóêâû
Γ, ∆ è ò.ä. Íàáîðû áóäåì çàäàâàòü ïåðå÷èñëåíèåì ýëåìåíòîâ, îïóñêàÿ
ôèãóðíûå ñêîáêè. Òàê, íàáîð Γ, A  åñòü ðåçóëüòàò ïðèñîåäèíåíèÿ ê
íàáîðó Γ ôîðìóëû A.
   Ñåêâåíèöÿìè â S íàçûâàþòñÿ ñòðîêè ñèìâîëîâ âèäà Γ → ∆.
Ïðè ýòîì Γ íàçûâàþò àíòåöåäåíòîì, à ∆  ñóêöåäåíòîì 4 äàííîé
ñåêâåíöèè.
   Â çàïèñè ñåêâåíöèé ïóñòîå ìóëüòèìíîæåñòâî áóäåì îïóñêàòü. Òà-
êèì îáðàçîì, Γ →, → ∆ è →  çàïèñè ñåêâåíöèé ñ ïóñòûìè àíòå-
öåäåíòîì è/èëè ñóêöåäåíòîì.  êà÷åñòâå ìåòàñèìâîëà äëÿ ñåêâåíöèé
áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðîïèñíóþ ãðå÷åñêóþ áóêâó Σ. Ìåòàñèìâîëîì =
îáîçíà÷àåòñÿ ñèíòàêñè÷åñêîå òîæäåñòâî ôîðìóë èëè ñåêâåíöèé.
   Òàêèì îáðàçîì, ÿçûê L(S) ÈÑ S çàäàí.
   Àêñèîìû Ax(S) ïðåäñòàâëåíû åäèíñòâåííîé ñõåìîé ñåêâåíöèé
                            A0 , Γ → ∆, A0 .
Ïðè ïîäñòàíîâêå â äàííóþ ñõåìó âìåñòî ìåòàñèìâîëà A0 ïðîèçâîëü-
íîé ïðîïîçèöèîíàëüíîé ïåðåìåííîé, à âìåñòî ìåòàñèìâîëîâ Γ è ∆ 
ïðîèçâîëüíûõ íàáîðîâ ôîðìóë, ïîëó÷àþòñÿ ÷àñòíûå ñëó÷àè ñõåìû, êî-
òîðûå è áóäóò ÿâëÿòüñÿ àêñèîìàìè S .
   Ïðàâèëà âûâîäà Rl(S) ñóòü ñõåìû ïåðåõîäîâ îò îäíîé ëèáî äâóõ èñ-
õîäíûõ ñåêâåíöèé (ïîñûëêè ïðàâèëà) ê çàêëþ÷èòåëüíîé (çàêëþ÷åíèå
ïðàâèëà). Ïðè ïîäñòàíîâêå â óêàçàííûõ ñõåìàõ êîíêðåòíûõ ôîðìóë
âìåñòî ìåòàñèìâîëîâ ïîëó÷èì ÷àñòíûå ñëó÷àè ïðàâèë âûâîäà . Ïðàâè-
ëà çàïèñûâàþò â âèäå ÷åðòû ñ ïîñûëêàìè íàä íàä ÷åðòîé è çàêëþ÷å-
íèåì ïîä íåé. Ïðàâèëà âûâîäà Rl(S) ïîñòðîåíû âåñüìà ñèììåòðè÷íî
è ââîäÿò ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ñëåâà è ñïðàâà îò ñèìâîëà ñëåäîâàíèÿ:
                Γ → ∆, A     Γ → ∆, B
     (→ N)                              ;
                     Γ → ∆, A N B
                 A, B, Γ → ∆
     (N →)                    ;
                 A N B, Γ → ∆
                 Γ → ∆, A, B
     (→ ∨)                    ;
                 Γ → ∆, A ∨ B
  4 Îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ëàòèíñêèõ ñëîâ, îçíà÷àþùèõ ¾ïðåäøåñòâóþùèé¿ è ¾èäó-
ùèé âñëåä¿.

Страницы