Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

S
M
S(M) ϕ A
S N |A|
ϕ
∈ S(M)
ϕ
| Γ → ∆ |
ϕ
def
= ∩Γ
ϕ
⊆ ∪∆
ϕ
,
∩ Γ
ϕ
=
\
A∈Γ
|A|
ϕ
, ∪∆
ϕ
=
[
B∈∆
|B|
ϕ
,
∩ ∅ = M, ∪∅ = ∅ .
S(M) = { ∅, M } ∅ = , M =
| Γ → ∆ |
ϕ
def
= | N Γ
ϕ
¡
¢
∨∆
ϕ
| ,
N Γ
ϕ
=
A∈Γ
|A|
ϕ
, ∨∆
ϕ
=
_
B∈∆
|B|
ϕ
,
N ∅ = , ∨∅ = .
Γ → ∆
Γ
∆
Γ ∆ Γ → ∆
N Γ
∨∆ → ∆
∨∆ Γ → →
N Γ
S
S N
Γ → A Γ `
N
A
Γ → B
1
, . . . , B
n
n > 1
Γ `
N
B
1
∨ . . . ∨ B
n
Γ, ¬ B
1
, . . . , ¬ B
n−1
`
N
B
n
.
(¬ →)
M
M
N
S
2. Èñ÷èñëåíèå S ñåêâåíöèàëüíîãî òèïà                                          115


Ñåìàíòèêà. Çàôèêñèðóåì íåïóñòîå ìíîæåñòâî M ñ àëãåáðîé ìíî-
æåñòâ S(M ) íà í¼ì. Èíòåðïðåòàöèþ ϕ è îöåíêó ôîðìóëû A â ÈÑ
S îïðåäåëÿþò êàê â ÈÑ N , ò.å. |A|ϕ ∈ S(M ). Îöåíêà ñåêâåíöèè â
èíòåðïðåòàöèè ϕ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
                                     def
                       | Γ → ∆ |ϕ = ∩Γϕ ⊆ ∪∆ϕ ,
                              \               [
              ãäå     ∩ Γϕ =     |A|ϕ , ∪∆ϕ =   |B|ϕ ,
                               A∈Γ                       B∈∆
                     ïðè÷¼ì      ∩ ∅ = M, ∪∅ = ∅ .
Äëÿ ãëàâíîé èíòåðïðåòàöèè S(M ) = { ∅, M }, ∅ = 0, M = 1 áóäåì
èìåòü
                             def       ¡
                  | Γ → ∆ |ϕ = | N Γϕ ¢ ∨∆ϕ | ,
                                           _
            ãäå N Γϕ =         &
                              |A|ϕ , ∨∆ϕ =      |B|ϕ ,
                               A∈Γ                       B∈∆
                      ïðè÷¼ì      N ∅ = 1, ∨∅ = 0 .
ßñíî, ÷òî îöåíêà ñåêâåíöèè Γ → ∆ â äàííîé èíòåðïðåòàöèè îïðåäå-
ëÿåòñÿ êàê ëîæíàÿ, åñëè è òîëüêî åñëè èñòèííû âñå ôîðìóëû èç Γ è
ëîæíû âñå ôîðìóëû èç ∆.
   Òàêèì îáðàçîì, ïðè íåïóñòûõ Γ è ∆ ñåêâåíöèÿ Γ → ∆ ïîíèìà-
þòñÿ êàê óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî èç ôîðìóëû N Γ âûâîäèòñÿ ôîðìóëà
∨∆. Èíà÷å, ñåêâåíöèÿ âèäà → ∆ ïîíèìàåòñÿ êàê óòâåðæäåíèå î äî-
êàçóåìîñòè ôîðìóëû ∨∆, à âèäîâ Γ → è →  êàê óòâåðæäåíèÿ î
òîæäåñòâåííîé ëîæíîñòè ôîðìóëû N Γ è, ñîîòâåòñòâåííî, î ïðîòèâî-
ðå÷èâîñòè ñàìîé ñèñòåìû S .
   Ðàññìàòðèâàÿ ÈÑ S êàê ìåòàèñ÷èñëåíèå äëÿ ÈÑ N , ñåêâåí-
öèÿ Γ → A ïîíèìàåòñÿ êàê óòâåðæäåíèå Γ `N A, à ñåêâåíöèÿ
Γ → B1 , . . . , Bn , ãäå n > 1  êàê
       Γ `N B1 ∨ . . . ∨ Bn    èëè         Γ, ¬ B1 , . . . , ¬ Bn−1 `N Bn .
Ýêâèâàëåíòíîñòü äàííûõ ïðåäñòàâëåíèé ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ D1 è
ïðàâèë RDT è (¬ →).
   Âîîáùå, çàäàòü èíòåðïðåòàöèþ ÿçûêà â íåêîòîðîì ìíîæåñòâå M 
çíà÷èò óêàçàòü ñïîñîá ïðèäàíèÿ ñìûñëà âûðàæåíèÿì ÿçûêà êàê âûñêà-
çûâàíèÿì îá ýëåìåíòàõ M . Ìû âèäåëè ýòî, êîãäà ðàññìàòðèâàëàñü èí-
òåðïðåòàöèÿ ñåêâåíöèé ÈÑ N . Ïðèâåä¼ì â êà÷åñòâå ïðèìåðà5 íåñòàí-
äàðòíûå öåëî÷èñëåííûå èíòåðïðåòàöèè S .  íèõ òàêæå èíòåðïðåòàöèÿ
   5 Ñì. Êîñîâñêèé Í.Ê., Òèøêîâ À.Â. Ëîãèêè êîíå÷íîçíà÷íûõ ïðåäèêàòîâ íà îñ-
íîâå íåðàâåíñòâ: Ó÷åáíîå ïîñîáèå.  ÑÏá.: Èçäàòåëüñòâî Ñ.-Ïåòåðá. óíèâåðñèòåòà,
2000.

Страницы