Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

T F N
x N ¬x ∈ F, x ∨ y ∈ N T F N
A
t
f
p ≡ p
p
¡
¢
p
(p ≡ t) ≡ p
(p ≡ f ) ≡ ¬ p
p
¡
¢
t
f
¡
¢
p
¬¬ p
¡
¢
p
p
¡
¢
¬¬ p
(p
¡
¢
q)
¡
¢
(¬ q
¡
¢
¬ p)
(¬ q
¡
¢
¬ p)
¡
¢
(p
¡
¢
q)
¬ (p N ¬ p)
2. Áèíàðíûå îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâå ôîðìóë                            17


   Èíûìè ñëîâàìè, íåâûïîëíèìûå ôîðìóëû ìîäåëåé íå èìåþò, âû-
ïîëíèìûå èìåþò õîòÿ áû îäíó ìîäåëü, íåéòðàëüíûå èìåþò è ìîäåëü,
è êîíòðìîäåëü, à äëÿ òàâòîëîãèè âñå èíòåðïðåòàöèè ÿâëÿþòñÿ ìî-
äåëÿìè. Ìíîæåñòâà òàâòîëîãèé, íåâûïîëíèìûõ è íåéòðàëüíûõ ôîð-
ìóë àëãåáðû ëîãèêè îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî T, F, N. Íàïðèìåð,
x N ¬x ∈ F, x ∨ y ∈ N. Êëàññû T, F è N, î÷åâèäíî, áåñêîíå÷íû è
îáðàçóþò ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà âñåõ ôîðìóë àëãåáðû ëîãèêè A. ßñíî
òàêæå, ÷òî îòðèöàíèå òàâòîëîãèè ÿâëÿåòñÿ íåâûïîëíèìîé ôîðìóëîé è
íàîáîðîò. Äàëåå ïðîèçâîëüíóþ òàâòîëîãèþ ìû áóäåì îáîçíà÷àòü t, à
ïðîèçâîëüíóþ íåâûïîëíèìóþ ôîðìóëó  f .
   Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî òàâòîëîãèè èñòèíû â ñèëó ñâîåé ñòðóê-
òóðû, âíå çàâèñèìîñòè îò ñîäåðæàíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ èõ ýëåìåíòàðíûõ
âûñêàçûâàíèé. Òåì ñàìûì îíè âûðàæàþò çàêîíû ìûñëè èëè ëîãè÷å-
ñêèå çàêîíû.
Ïðèìåð 1.4. Íèæå óêàçàíû íåêîòîðûå òàâòîëîãèè, ñîîòâåòñòâóþùèå
âàæíûì êëàññè÷åñêèì çàêîíàì ëîãèêè.

  1. p ≡ p  çàêîí òîæäåñòâà (ëàò. lex identitas: ¾èñòèííîñòü ñóæ-
     äåíèÿ íå èçìåíÿåòñÿ â õîäå ðàññóæäåíèÿ¿); ðåôëåêñèâíîñòü òîæ-
     äåñòâà. Èíîãäà çàêîí òîæäåñòâà çàïèñûâàþò â áîëåå îáùåé èì-
                                 ¡
     ïëèêàòèâíîé ôîðìå p ¢ p, âûðàæàþùåé ðåôëåêñèâíîñòü èìïëè-
     êàöèè.
  2. (p ≡ t) ≡ p  çàêîí óòâåðæäåíèÿ.
  3. (p ≡ f ) ≡ ¬ p  çàêîí îòðèöàíèÿ.
         ¡
  4. p ¢ t  çàêîí ñàìîäîñòàòî÷íîñòè èñòèíû: ¾èñòèíà ñëåäóåò èç
     âñåãî¿ (ëàò. verum ex quodlibet). Ñ ýòèì çàêîíîì ñâÿçàí ò.í. ¾ïàðà-
     äîêñ èñòèííîãî âûñêàçûâàíèÿ¿, êîãäà èç èñòèííîå âûñêàçûâàíèå
     âûâîäèòñÿ èç ïðîèçâîëüíîãî, äàæå èç ëîæíîãî âûñêàçûâàíèÿ.
         ¡
  5. f ¢ p  çàêîí Äóíñà Ñêîòà: ¾èç ëîæíîãî ñëåäóåò âñ¼, ÷òî óãîä-
     íî¿ (ëàò. ex falso quodlibet). Ñ ýòèì çàêîíîì ñâÿçàí ò.í. ¾ïàðà-
     äîêñ ëîæíîãî âûñêàçûâàíèÿ¿, êîãäà èç ëîæíîãî âûñêàçûâàíèÿ
     âûâîäèòñÿ ïðîèçâîëüíîå, äàæå èñòèííîå âûñêàçûâàíèå. Ýòî, ïî-
     âèäèìîìó, íàèáîëåå ÿðêèé èç ïàðàäîêñîâ ìàòåðèàëüíîé èìïëèêà-
     öèè.
                 ¡
  6. ¬¬ p ¢ p  çàêîí (ñíÿòèÿ) äâîéíîãî îòðèöàíèÿ.
         ¡¢
  7. p       ¬¬ p  îáðàòíûé çàêîí äâîéíîãî îòðèöàíèÿ.
           ¡       ¡      ¡
  8. (p ¢ q) ¢ (¬ q ¢ ¬ p)  çàêîí êîíòðàïîçèöèè.
              ¡¢     ¡¢     ¡
  9. (¬ q ¬ p)          (p ¢ q)  îáðàòíûé çàêîí êîíòðàïîçèöèè.
 10. ¬ (p N ¬ p)  çàêîí ïðîòèâîðå÷èÿ (ëàò. lex contradictionis: ¾íè-
     êàêîå ñóæäåíèå íå ìîæåò áûòü èñòèííûì è ëîæíûì îäíîâðåìåí-
     íî¿).

Страницы