Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

I O
C
π
h C, +, ·,
−
, O, I i
◦
• •
◦
x
1
x
5
x
3
x
2
x
4
•
{ ∨, N, ¬ }
1. Àëãåáðà âûñêàçûâàíèé                                                     15


íèå, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå
öåïåé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç I ïîñòîÿííî çàìêíóòûé, à ÷åðåç O  ïî-
ñòîÿííî ðàçîìêíóòûé êîíòàêòû, à ÷åðåç C ìíîæåñòâî âñåõ ïîïàðíî
íåýêâèâàëåíòíûõ π -ñõåì (äâóõïîëþñíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé). Òîãäà
ñòðóêòóðà h C, +, ·, − , O, I i åñòü, êàê íåòðóäíî âèäåòü, áóëåâà àëãåá-
ðà.
    Ïðèìåíåíèå ôîðìóëüíîãî àïïàðàòà áóëåâûõ àëãåáð äëÿ àíàëèçà è
ñèíòåçà ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåì èìååò îãðîìíîå ïðèêëàäíîå çíà÷åíèå13 .
Îäíàêî êðîìå ïàðàëëåëüíî-ïîñëåäîâàòåëüíûõ, ñóùåñòâóåò åù¼ ò.í. ìî-
ñòèêîâûå ñõåìû, êîãäà âõîäíûå èëè âûõîäíûå êîíòàêòû îäíîé öåïè
ïðèñîåäèíÿåòñÿ ê âíóòðåííåìó ïîëþñó äðóãîé, îáðàçóÿ, òåì íå ìå-
íåå, äâóõïîëþñíóþ öåïü (ñì. ðèñ. 1.1). Ïðîâîäèìîñòü äàííîé ñõåìû


                                           ◦   [[
                                  
                                 x1             x3

                                • [
                                 x2
                                   [  x5

                                               
                                                x4
                                                     •

                                           ◦


Ðèñ. 1.1: Ïðîñòåéøàÿ ìîñòèêîâàÿ ñõåìà (âõîäíîé è âûõîäíîé ïîëþñà
îáîçíà÷åíû •)

îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé, êîòîðàÿ íå ìîæåò áûòü çàäàíà áåñïîâòîðíîé
ôîðìóëîé íàä ìíîæåñòâîì ñâÿçîê { ∨, N, ¬ }14 . Äëÿ îïèñàíèÿ ìîñòè-
êîâûõ öåïåé ÿçûê áóëåâîé àëãåáðû îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íûì: ¾íå
óäà¼òñÿ òàê óñîâåðøåíñòâîâàòü îáû÷íûé áóëåâ àïïàðàò àëãåáðû ëî-
ãèêè, äîáàâèâ ê íåìó åù¼ íåñêîëüêî (êîíå÷íîå ÷èñëî!) îïåðàöèé òàê,
÷òîáû îí ñòàë ñîäåðæàòü ñðåäñòâà äëÿ îïèñàíèÿ ñòðîåíèÿ íå òîëüêî
ïàðàëëåëüíî-ïîñëåäîâàòåëüíûõ, íî è ìîñòèêîâûõ ñõåì, ïðèòîì îïèñà-
íèÿ àäåêâàòíîãî, ò.å. òàêîãî, ïðè êîòîðîì êàæäîìó êîíòàêòó â ñõåìå
ñîîòâåòñòâóåò ðîâíî îäíà áóêâà â ôîðìóëå, âûðàæàþùàÿ ïðîâîäèìîñòü
äàííîé ñõåìû¿ [À.Â. Êóçíåöîâ. Î áåñïîâòîðíûõ êîíòàêòíûõ ñõåìàõ è
áåñïîâòîðíûõ ñóïåðïîçèöèÿõ ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè // Òðóäû ìà-
òåì. èí-òà èì. Â.À.Ñòåêëîâà, ò. LI.  Ì.: 1958.].
  13 Çàìåòèì, ÷òî ïåðâûì íà ñâÿçü ôèçè÷åñêèõ ñõåì ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåò-
ðàìè è áóëåâûõ ôóíêöèé óêàçàë ôèçèê Ï. Ýðåíôåñò â 1907 ã.
  14 Ýòî óòâåðæäåíèå íåîäíîêðàòíî âûñêàçûâàëîñü Â.È. Øåñòàêîâûì, íà÷èíàÿ ñ
1930-õ ãîäîâ. Îäíàêî íà ñåìèíàðå ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå â ÌÃÓ â íà÷àëå 1950-õ
ãîäîâ Ï.Ñ. Íîâèêîâ óêàçàë íà îòñóòñòâèå ìàòåìàòè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà äàííîãî
ôàêòà. Òàêîå äîêàçàòåëüñòâî áûëî ïîçæå ïðèâåäåíî À.Â. Êóçíåöîâûì.

Страницы