Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

|A| ∨ = |A| N = |A|
|A| ∨ ¬|A| = |A| N ¬|A| =
h { , }, ∨, N, ¬, , i
2
M C P(M)
X Y ⊆ M
X ⊆ C(X)
X ⊆ Y ⇒ C(X) ⊆ C(Y )
C(C(X)) = C(X)
C
C(X) =
S
C(Y )
Y ⊆ X
X C(X) = X
P
2
F ⊆ P
2
[F ]
F F
[F ] = F [F ] = P
2
[·]
[·]
2
P
2
[·]
hP
2
, [·]i
P
n
n
P
ω
P
2
hP
n
, [·]i hP
ω
, [·]i
n
h P
n
, [·] i n = 2
n > 2
1. Àëãåáðà âûñêàçûâàíèé                                              13


   ˆ âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ |A| ∨ 0 = |A| N 1 = |A| ;
   ˆ ñïðàâåäëèâû çàêîíû |A| ∨ ¬|A| = 1 è |A| N ¬|A| = 0 .
Óêàçàííîå îçíà÷àåò, ÷òî ñòðóêòóðà h {1, 0}, ∨, N, ¬, 0, 1 i ÿâëÿåòñÿ
áóëåâîé àëãåáðîé, íîñèòåëü êîòîðîé åñòü äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî
êëàññè÷åñêèõ îöåíîê âûñêàçûâàíèé. Äàííóþ ïðîñòåéøóþ áóëåâó àë-
ãåáðó íàçûâàþò äâîè÷íîé àëãåáðîé âûñêàçûâàíèé èëè àëãåáðîé Áóëÿ;
ìû áóäåì îáîçíà÷àòü å¼ 2.
    Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîíÿòèå, îêàçûâàþùååñÿ âåñüìà âàæíûì äëÿ
òåîðåòè÷åñêèõ îïèñàíèé ëîãè÷åñêèõ ñèñòåì. Îïåðàòîðîì çàìûêàíèÿ
íà íåïóñòîì ìíîæåñòâå M íàçûâàþò îòîáðàæåíèå C áóëåàíà P(M )
â ñåáÿ, îáëàäàþùåå äëÿ âñåõ X , Y ⊆ M ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
  1. X ⊆ C(X)  ðåôëåêñèâíîñòü;
  2. X ⊆ Y ⇒ C(X) ⊆ C(Y )  ìîíîòîííîñòü;
  3. C(C(X)) = C(X)  èäåìïîòåíòíîñòü.
   Îïåðàòîð çàìûêàíèÿ C íàçûâàåòñÿ ôèíèòàðíûì , åñëè
               S
  4. C(X) =      C(Y ), ãäå îáúåäèíåíèå áåð¼òñÿ ïî âñåì êîíå÷íûì
     Y ⊆ X.
   Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì , åñëè C(X) = X . Çàìåòèì,
÷òî (4) âëå÷¼ò (3).
   ×åðåç P2 îáîçíà÷àþò ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé àëãåáðû ëîãèêè.
Äëÿ F ⊆ P2 îïðåäåëèì îïåðàöèþ [F ] âçÿòèÿ âñåõ ñóïåðïîçèöèé ôóíê-
öèé èç F . Ìíîæåñòâî (êëàññ) ôóíêöèé F íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíî
çàìêíóòûì, åñëè [F ] = F è ôóíêöèîíàëüíî ïîëíûì, åñëè [F ] = P2 .
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îïåðàöèÿ [·] îáëàäàåò âûøåóêàçàííûìè ñâîéñòâàìè
(1)(3), ò.å. ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç êîíêðåòèçàöèé îïåðàòîðà çàìûêàíèÿ.
 ñèëó êîíå÷íîñòè ÷èñëà àðãóìåíòîâ ó ôîðìóë, ðàññìîòðåííûé îïå-
ðàòîð [·] îêàçûâàåòñÿ òàêæå è ôèíèòàðíûì. Òàêèì îáðàçîì, êëàññè-
÷åñêàÿ ëîãèêà C2 îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíîé ñèñòåìîé , ñîñòîÿùåé
èç ìíîæåñòâà ôóíêöèé P2 è îïåðàòîðà [·] íà í¼ì. Ýòó ñèñòåìó îáî-
çíà÷àþò hP2 , [·]i.
   Ìîæíî òàêæå ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâî Pn âñåõ n-çíà÷íûõ èëè
Pω âñåõ ñ÷¼òíîçíà÷íûõ ëîãè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ââåä¼ííûå äëÿ P2 ïîíÿ-
òèÿ îáîáùàþòñÿ íà ýòè ñëó÷àè. Òîãäà ÀÑ hPn , [·]i è hPω , [·]i ïðåäñòàâ-
ëÿþò, ñîîòâåòñòâåííî, ìíîãîçíà÷íûå ëîãèêè ñ n è ñî ñ÷¼òíûì ÷èñëîì
èñòèííîñòíûõ çíà÷åíèé. Èíòåðåñíî, ÷òî â h Pn , [·] i ïðè n = 2 èìååòñÿ
ñ÷¼òíîå ÷èñëî çàìêíóòûõ êëàññîâ (Ý. Ïîñò, 1922, îïóáëèêîâàíî â 1941),
à ïðè n > 2 òàêèõ êëàññîâ êîíòèíóóì (Þ.È. ßíîâ è À.À. Ìó÷íèê,
1959). Òàêèì îáðàçîì, ïåðåõîä îò îäíîãî òèïà áåñêîíå÷íîñòè ê äðóãî-
ìó (íåôîðìàëüíî  îò äèñêðåòíîñòè ê íåïðåðûâíîñòè) ïðîèñõîäèò ïðè

Страницы